Aufgabe 2 (3 Punkte). (a) Zeigen Sie mit 7.21 und 7.28 , dass für alle $$ q \in \mathbb{C} $$ mit $$ |q|

Question

Aufgabe 2 (3 Punkte). (a) Zeigen Sie mit 7.21 und 7.28 , dass für alle $$ q \in \mathbb{C} $$ mit $$ |q|<1 $$ gilt $$ \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}=\frac{1}{(1-q)^{2}} $$ (b) Für $$ n \in \mathbb{N}_{0} $$ sei $$ a_{n}=b_{n}=(-1)^{n} / \sqrt{n+1} $$. Zeigen Sie, dass das Cauchyprodukt $$ \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} $$ der konvergenten Reihen $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $$ und $$ \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} $$ divergiert (Hinweis: Zeigen Sie, dass $$ \left(c_{n}\right) $$ keine Nullfolge ist und benutzen Sie dann 7.11$$ ) $$.

Luna Huff · Accepted Answer

(a) Die Gleichung $$\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}=\frac{1}{(1-q)^{2}}$$ für $$ |q| < 1 $$ wird durch Ableiten und Kombinieren der geometrischen Reihe gezeigt. (b) Das Cauchyprodukt der Reihen $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $$ und $$ \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} $$ divergiert, da $$ (c_n) $$ keine Nullfolge ist und der Betrag von $$ c_n $$ gegen unendlich geht.

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