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Questions

Morocco
Exercice 1. (5pts=1pt+1pt+1pt+1pt+1pt) Soit \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) la fonction définie par \[ f(x)=\frac{1}{2} a x^{2}-b x+c \text {, } \] où \( a, b \) et \( c \) sont des constantes et \( a>0 \). 1. Trouver le minimum \( x^{*} \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) (en fonction de \( a, b \) et \( c \) ). Justifier. 2. Ecrire la méthode de plus forte pente à pas constant \( \alpha \), pour la minimisation de \( f \) sur \( \mathbb{R} \). 3. Supposons que la suite engendrée par la méthode de plus forte pente converge. Montrer qu'elle converge vers \( x^{*} \). 4. Trouver la vitesse de convergence de la suite engendrée par la méthode de plus forte pente. 5. Trouver le domaine de variation de \( \alpha \) pour lequel l'algorithme de plus forte, appliqué à \( f \), converge pour tout point de départ \( x^{0} \).
Calculus Jan 19, 2025
Exercice 2. \( (5 p t s=2 p t s+1 p t+2 p t s) \) Soit \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) la fonction définie par \( f(x)=\frac{1}{2}\|A x-b\|_{2}^{2} \), où \( A \) est une matrice \( m \times n, b \in \mathbb{R}^{m} \) avec \( m, n \in \mathbb{N}^{*} \). 1. Montrer que \( f \) est une fonction quadratique. Calculer son gradient et sa matrice hessienne. 2. Expliciter la suite \( \left\{x^{k}\right\} \) engendrée par la méthode de plus forte pente, à pas constant \( \alpha \), pour la minimisation de \( f \) sur \( \mathbb{R}^{n} \). 3. On suppose que \( n=m=2 \) et \[ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right) \] (a) Soit \( \left\{x^{k}\right\} \) la suite engendrée pour \( A \) définie précédemment, et \( b \in \mathbb{R}^{2} \). Montrer que \[ x^{k+1}-A^{-1} b=\left(I_{n}-\alpha A^{\top} A\right)\left(x^{k}-A^{-1} b\right) \] (b) Déduire les valeurs de \( \alpha \) pour lesquelles la suite \( \left\{x_{k}\right\} \) converge vers le minimum de \( f \),
Calculus Jan 19, 2025
\[ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right) \] (a) Soit \( \left\{x^{k}\right\} \) la suite engendrée pour \( A \) définie précédemment, et \( b \in \mathbb{R}^{2} \). Montrer que \[ x^{k+1}-A^{-1} b=\left(I_{n}-\alpha A^{\top} A\right)\left(x^{k}-A^{-1} b\right) . \] (b) Déduire les valeurs de \( \alpha \) pour lesquelles la suite \( \left\{x_{k}\right\} \) converge vers le minimum de et donner cette limite.
Calculus Jan 19, 2025
4. Teen center 5. cincus: such things as reading, playing games, singing or acting. 3. Fill in the blanks with words from the list. novels sceneny, audience, make-up, conductor, costume, playwright, composed, voices, gala, 2. The actress quickly put some .............. wore her ........... and walked on stage. 3. The \( \qquad \) stepped onto the podium, shook hands with the first violinist and begar Beethoven's 5 th Symphony. 4. Opera singers have great \( \qquad \) 5. Najib Mahfoud wrote wonderful \( \qquad \) The \( \qquad \) used during the first act of the play was o beautiful. It really looked like it was set in Egypt. The \( \qquad \) applauded the actors for a long time. Whry bought a new dress and wore it for the opening night Mozart. more than 40 symphonies. Shakespeare was a poet and a \( \qquad \) as well. W.Shakespeare 71
Arts Jan 19, 2025
- Exercice \( \mathcal{N} 01 \) - \( \Rightarrow \) On considêre la suite numérique \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \) défimic par : \( \left\{\begin{array}{c}u_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ u_{n+1}=\frac{2}{2 \sqrt{2}-u_{n}}\end{array} ;\left(\forall n \in N^{\prime}\right)\right. \) 1) a) Montrer par récurrence que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \); \( u_{n}<\sqrt{2} \). 6) Vérifier que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \); \( u_{n+1}-u_{n}=\frac{\left(u_{n}-\sqrt{2}\right)^{2}}{2 \sqrt{2}-u_{n}} \).puis déterminer fa monotomie de fa suite \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \). c) Ent déduire que la suite \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \) est une suite convergente. 2) On pose : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; v_{n}=\frac{u_{n}}{\sqrt{2}-u_{n}} \). a) Montrer que la suite \( \left(v_{n}\right)_{n \geq 1} \) est arithmétique. 6) Exprimer \( v_{n} \) enfonction de \( n \), puis en déduire que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; u_{n}=\sqrt{2}\left(\frac{n}{\pi+1}\right) \). c) Calculer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n} \) (justifier votre réponse) 3) Soit \( \left(w_{n}\right)_{n \geq 1} \) la suite numérique définie par : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; w_{n}=\ln \left(u_{n}\right) \). a) Déterminer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n} \) (justifier votre réponse) 6) On pose : \( S_{n}=w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n} \), pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \). \( \checkmark \) Montrer que : \( S_{n}=\frac{n}{2} \ln (2)-\ln (n+1) \).
Calculus Jan 18, 2025
Ecrire sous forme de puissance: \( A=2^{4} \times 2^{3} \times 2 ; B=\frac{2}{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{5} ; C= \) \( D=9 \times 9 \times 9^{6} \because ; E=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{6} \because \) \( G=\left(\frac{3}{4}\right)^{-5} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{-5} \because, H=\left(\frac{7}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{7}{3}\right)^{-2} \) \( J=\frac{5^{10}}{5^{7}} \because K=\frac{12^{3}}{12^{-4}} \because L=\frac{7^{-13}}{7^{-14}} \because \because \)
Algebra Jan 17, 2025
\( \begin{array}{l} \text { Calculer les expressions suivantes: }\\ \begin{array}{l} \left.\frac{14}{235}\right)^{1} ;(-458,23)^{0} ; ; 11^{3} ;\left(-\frac{5}{7}\right)^{3} ;\left(\frac{2}{3}\right)^{2} ; \frac{17^{0}}{9} ; \frac{5^{2}}{15} ; \\ \left(-\frac{7}{9}\right)^{2} ; 1^{2020} ; 0^{1996} ; ;\left(-\frac{15}{44}\right)^{0} ; ;-102^{0} ; 7^{-2} ;,-(-2020)^{0} ; ; \\ \mathrm{A}=8-8 \times 8^{-1} ; \mathrm{B}=3^{2}-5 \times \frac{1}{3} ; \mathrm{C}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{7}{4} \quad ; \mathrm{D}=3^{2} \times 8-6 \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \\ E=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \quad \because \mathrm{~F}=\left(\frac{-2}{3}\right)^{2}+\frac{5}{9} ; \mathrm{G}=\left(1-3^{-1}\right)^{2} \\ H=(-97)^{0}+\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}-\frac{9}{16} ; \mathrm{I}=\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-3^{-2}\right]^{-3} ; \because \mathrm{J}=\left[\left(\frac{16}{5}\right)^{-1}+\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}\right]^{-} \end{array} \end{array} \)
Algebra Jan 17, 2025
A right triangle has a hypotenuse measuring 13 units and one leg measuring 5 units. Determine the length of the other leg.
Geometry Jan 17, 2025
\( \Rightarrow \) On considêre fa suite numérique \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \) dêfinie par : \( \left\{\begin{array}{c}u_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ u_{n+1}=\frac{2}{2 \sqrt{2}-u_{n}}\end{array} ;(\forall n \in \mathrm{~N})\right. \) 1) a) Montrer par récurrence que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \); \( u_{n}<\sqrt{2} \). 6) Vérifier que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; u_{n+1}-u_{n}=\frac{\left(u_{n}-\sqrt{2}\right)^{2}}{2 \sqrt{2}-u_{n}} \).puis dêterminer la monotomie de fa suite \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \). c) Ent déduire que la suite \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \) est une suite convergente. 2) On pose : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; v_{n}=\frac{u_{n}}{\sqrt{2}-u_{n}} \). a) Montrer que fa suite \( \left(v_{n}\right)_{n \geq 1} \) est arithmétique. b) Exprimer \( v_{n} \) en fonction de \( n \), puis en déduire que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; u_{n}=\sqrt{2}\left(\frac{n}{n+1}\right) \). c) Calculer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n} \) (justifier votre réponse) 3) Soit \( \left(w_{n}\right)_{n \geq 1} \) la suite numérique définie par : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; w_{n}=\ln \left(u_{n}\right) \). a) Déterminer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n} \) (justifier votre réponse) 6) On pose : \( S_{n}=w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n} \), pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \). \( \checkmark \) Montrer que : \( S_{n}=\frac{n}{2} \ln (2)-\ln (n+1) \)
Calculus Jan 17, 2025
\( \Rightarrow \) On considere fa suite numérique \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \) définie par : \( \left\{\begin{array}{c}u_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ u_{n+1}=\frac{2}{2 \sqrt{2}-u_{n}}\end{array}:(\forall n \in \mathbb{N})\right. \) 1) a) Montrer par récurrence que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \); \( u_{n}<\sqrt{2} \). 6) Vérifier que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; u_{n+1}-u_{n}=\frac{\left(u_{n}-\sqrt{2}\right)^{2}}{2 \sqrt{2}-u_{n}} \).puis déterminer fa monotomie de fa suite \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \). c) En déduire que la suite \( \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \) est une suite convergente. 2) On pose : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; v_{n}=\frac{u_{n}}{\sqrt{2}-u_{n}} \). a) Montrer que fa suite \( \left(v_{n}\right)_{n \geq 1} \) est aritfimétique. b) Exprimer \( v_{n} \) en fonction de \( n \), puis en déduire que : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; u_{n}=\sqrt{2}\left(\frac{n}{n+1}\right) \). c) Calculer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n} \) (justifier votre réponse) 3) Soit \( \left(w_{n}\right)_{n \geq 1} \) la suite numérique définie par : \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; w_{n}=\ln \left(u_{n}\right) \). a) Déterminer \( \lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n} \) (justifier votre réponse) 6) On pose : \( S_{n}=w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n} \), pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \). \( \checkmark \) Montrer que : \( S_{n}=\frac{n}{2} \ln (2)-\ln (n+1) \).
Calculus Jan 17, 2025
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