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mycor[ficcor] Exercice 1. Soit \( (X, Y) \) un vecteur aléatoire gaussien dans \( \mathbb{R}^{2} \) centré matrice de covariance l'identité \( I_{2} \). On définit les varibles aléatoires \( Q, Z \) et \( U \) suivantes : \[ Q=\frac{X-Y}{2} \quad Z=\frac{X+Y}{2} \text { et } U=\frac{1}{2}(X-Z)^{2}+\frac{1}{2}(Y-Z)^{2} \] 1. Calculer la matrice de covariance du couple \( (Z, Q) \). 2. \( Z \) et \( Q \) sont elles indépendantes? 3. Calculer \( E(U) \) et \( \operatorname{Var}(U) \). 4. Montrer que \( Z \) et \( U \) sont indépendantes. 5. Donner la loi de \( U \)
Estadísticas Jan 22, 2025
\( \lim _ { + \infty } \frac { \sqrt { x - 1 } - 3 } { x + 3 } \)
Cálculo Jan 22, 2025
Exercice 63 : Dans chacun des cas suivants, reps senter l'ensemble des points \( M \) dont l'affixe \( z \) verifes Y'égalité donnée: a) \( \arg (z) \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi] \). b) \( \arg (z) \equiv-\frac{\pi}{6}[2 \pi] \) c) \( \arg (i z) \equiv \frac{5 \pi}{4}[\pi] \) d) \( \arg \left(\frac{z}{1+i}\right) \equiv \frac{\pi}{4}[\pi] \)
Precálculo Jan 21, 2025
Exercice 62 : Soit les nombres complexes: \( z_{1}=\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2} \) et \( z_{2}=1-i \) 1. Donner une forme trigonométrique de: \( z_{1}, z_{2} \) et \( \frac{z_{1}}{z_{2}} \). 2. Donner la forme algérique de \( \frac{z_{1}}{z_{2}} \) 3. En déduire que: \( \cos \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) et \( \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)
Otro Jan 21, 2025
Exercice 58 : On considère les points \( A, B \) et \( C \) d'affixes respectives: \( a=2+2 i \sqrt{3}, b=-4+4 i \sqrt{3} \) et \( c=-1+i \sqrt{3} \) 1. Déterminer \( \arg \left(\frac{b-c}{a-c}\right) \). 2. En déduire que \( (A C) \perp(B C) \).
Geometría Jan 21, 2025
e 3 eéterminer le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction \( f(x)=\ln (1+x)-x \). Rappelons que : \( \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+. .+(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \) Réponse : In déduire : \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}} \) Réponse :
Cálculo Jan 21, 2025
Exercice 1 Soient \( X \sim \mathcal{N}(0,1) \) et \( Z \) une variable aléatoire indépendante à \( X \) telle que \[ \mathbb{P}(Z=-1)=\mathbb{P}(Z=1)=1 / 2 \] Soit la variable aléatoire \( Y=Z X \). 1. Montrer que \( Y \sim \mathcal{N}(0,1) \) 2. Calculer la matrice de covariance du couple aléatoire \( U=(X, Y) \) 3. Montrer que \( U \) n'est pas gaussien
Probability Jan 21, 2025
Exercice 1 Soient \( X \sim \mathcal{N}(0,1) \) et \( Z \) une variable aléatoire indépendante à \( X \) telle que \[ \mathbb{P}(Z=-1)=\mathbb{P}(Z=1)=1 / 2 \] Soit la variable aléatoire \( Y=Z X \). 1. Montrer que \( Y \sim \mathcal{N}(0,1) \) 2. Calculer la matrice de covariance du couple aléatoire \( U=(X, Y) \) 3. Montrer que \( U \) n'est pas gaussien
Estadísticas Jan 21, 2025
Q 1: La suite \( \left(v_{n}\right) \) définie sur \( \mathbb{N} \) par \( v_{n}=5 n^{3}-2 n^{2}+4 \) \( \square \) diverge vers \( -\infty \) \( \square \) converge vers 0 - converge vers 1 diverge vers \( +\infty \) Q2 : La proposition exacte est : \( \square \) « Toute suite décroissante tend vers \( -\infty » \) \( \square \) « Toute suite non monotone diverge \( > \) - « Toute suite géométrique de raison strictement négative diverge - « Toute suite croissante est minorée » Q 3 : Pour tout entier naturel \( n, \quad u_{n}=\frac{3 n-n^{2}}{(n+1)^{2}} \) \[ \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \quad \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=3 \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-1 \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty \] Q4: La suite \( \left(q^{n}\right) \) n'a pas de limite dans le cas où \( q \) est un réel tel que : \( \square-1<q<1 \) - \( q \leq 1 \) \( q<0 \) \( \square \boldsymbol{q} \leq-1 \) Q5: Pour tout entier naturel \( n \) non nul, \( w_{n}=\frac{n}{\sqrt{n}} \) \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n}=0 \] ㅁ \( \lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n}=\frac{1}{2} \) \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n}=1 \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n}=+\infty \] Q 6: Pour tout entier naturel \( n, u_{n}=\frac{-3 n+1}{5+n} \) \[ \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\frac{1}{5} \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\frac{-3}{5} \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-3 \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty \] Q7: Pour tout entier naturel \( n, u_{n}=2 n^{2}-n+1 \). Alors pour tout entier naturel \( n, u_{n+1} \) est égale à : \[ 2 n^{2}+3 n+2 \] - \( 2 n^{2}-n+2 \). \( \square 2 n^{2}+3 n+4 \) - \( 2 n^{2}-n+4 \).
Cálculo Jan 21, 2025
\( E^{\prime} \times \) Ecrire sous forme d'une phissance: \[ \begin{array}{l} \frac{10^{17}}{10^{2}} ; \frac{7^{11}}{7^{3}} ; \frac{1 y^{24}}{11^{5}} ; \frac{6^{24}}{6^{13}} \\ \frac{10^{27} \times 10^{11}}{1_{0}^{19}} ; \frac{10^{25}}{\left(10^{3}\right)^{4}} ; \frac{(1000)^{7}}{1011} \end{array} \]
Álgebra Jan 20, 2025
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