¿Qué son las matrices conmutativas en álgebra lineal?
Aprenda qué son las matrices conmutativas en álgebra lineal, con definiciones, ejemplos y propiedades clave. Comprenda cuándo la multiplicación de matrices es conmutativa y sus implicaciones.
Alice Brooks
Dec 23, 2024 14 minutos leer
El álgebra elemental nos presenta un concepto esencial llamado propiedad conmutativa, que rige por igual las operaciones de suma y multiplicación. Al considerar dos números cualesquiera, a y b, ecuaciones como a + b = b + a o axb = bxa siempre son válidas para las operaciones de suma o multiplicación, respectivamente. Esto simplifica los cálculos y sirve como piedra angular para operaciones algebraicas más complejas; sin embargo, cuando entramos en el álgebra lineal, las cosas se vuelven más complejas; mientras que la suma de matrices puede adherirse a esta propiedad conmutativa, la multiplicación de matrices puede no hacerlo, lo que nos lleva a preguntarnos: "¿Cuáles son las reglas operativas que siguen las matrices en el álgebra lineal?" y "¿Qué son las matrices conmutativas?"
Definición básica de matrices de desplazamiento
Definición de matrices de desplazamiento
El álgebra lineal define dos matrices, A y B, como conmutativas cuando su producto no depende del orden de multiplicación aplicado, es decir, AB = BA. Esta propiedad es particularmente significativa ya que la multiplicación de matrices a menudo no es conmutativa en comparación con la simple suma o resta; por lo tanto, para que exista un estado conmutativo adecuado, deben cumplir esta condición para que conmuten correctamente, lo que tiene efectos de largo alcance en las aplicaciones matemáticas y físicas.
Ejemplos:
Consideremos las siguientes matrices de 2 × 2:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Para comprobar si A y B viajan conmutando, calculamos AB y BA:
\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]
Como AB ≠ BA, estas matrices no conmutan. Consideremos ahora dos matrices diagonales:
\[ C = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \]
\[ CD = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ 0 & 24 \end{pmatrix} \]
\[ DC = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ 0 & 24 \end{pmatrix} \]
Aquí, CD = DC, por lo que C y D conmutan.
Reglas clave para operaciones matriciales en álgebra lineal
Los cálculos matriciales en álgebra lineal no siguen exactamente las mismas reglas operativas que el álgebra elemental: la suma tiene la propiedad conmutativa, mientras que la multiplicación no.
La suma de matrices en álgebra lineal sigue la propiedad conmutativa, de modo que para cualquier par de matrices A y B de dimensión idéntica con dimensiones iguales, A + B = B + A. Esto generalmente se cumple cuando se trata de la multiplicación de matrices entre A y B, ya que esto requiere sumar productos de filas y columnas de una matriz con los de otra matriz; su orden de multiplicación se vuelve importante aquí.
Ejemplos:
Para ilustrarlo, consideremos las matrices:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Para añadir:
\[ A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \]
\[ B + A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \]
Claramente, A + B = B + A.
Para la multiplicación:
\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Aquí, AB ≠ BA, lo que demuestra que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Características de las matrices de desplazamientos
Las matrices conmutativas preservan los espacios propios de cada una
Una característica notable de las matrices conmutativas es su capacidad de mantener los espacios propios de cada una. Si A y B son matrices conmutativas con un vector v que tiene un valor propio l, este vector también debe aparecer en la lista de vectores propios de B, o de lo contrario cambiaría significativamente su estructura física si la acción tomada por B contra el espacio propio de A no lo afecta físicamente de manera significativa. Esta propiedad garantiza que los cambios tomados contra su estructura física por cualquiera de las partes no cambien significativamente a A.
A modo de ilustración, consideremos dos matrices conmutativas A y B que conmutan, tales que \(Av = \lambda v\) para algún vector propio v y valor propio l; dado que tanto A como B conmutan, obtenemos:
\[ ABv = BAv = B(\lambda v) = \lambda Bv \]
Esta ecuación muestra que Bv es también un vector propio de A correspondiente al mismo valor propio λ. Por lo tanto, el espacio propio asociado con λ para A es invariante bajo la acción de B.
Dos matrices conmutativas comparten un conjunto común de vectores propios
Las matrices conmutativas tienen la clara ventaja de compartir conjuntos comunes de vectores propios, lo que crea una base integral del espacio vectorial que consta de bases con vectores propios simultáneos para ambas matrices. Esta característica simplifica el análisis de la transformación lineal.
Consideremos dos matrices conmutativas A y B. Si v es un vector propio de A con valor propio \(\lambda_A\) y también un vector propio de B con valor propio \(\lambda_B\), entonces:
\[ Av = \lambda_A v \]
\[ Bv = \lambda_B v \]
Dado que A y B viajan conmutativamente, podemos usar su proximidad para descubrir un conjunto compartido de vectores propios, lo que permitirá diagonalizar ambas matrices simultáneamente, simplificando así muchos problemas asociados con el álgebra lineal y sus aplicaciones.
La no transitividad de las matrices conmutativas
Las matrices conmutativas tienen una característica inherente conocida como no transitividad que las distingue de las listas convencionales: incluso cuando A conmuta con B y B con C, esto no implica automáticamente que A también conmuta con C, algo que hay que tener en cuenta al trabajar con estas estructuras. Aunque al principio puede resultar confuso, tener presente este principio puede resultar muy valioso al trabajar con estas estructuras.
Consideremos, por ejemplo, las matrices:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
Aquí, A y B viajan, y B y C viajan, pero A y C no viajan.
\[ AB = BA = A \]
\[ BC = CB = C \]
\[ AC = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ CA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Como AC ≠ CA, A y C no conmutan, lo que ilustra la no transitividad de las matrices conmutativas.
Teoremas relacionados con matrices conmutativas
Teorema 1: Dos matrices diagonales cualesquiera son matrices conmutativas
Un teorema fundamental del álgebra lineal establece que dos matrices diagonales son conmutativas, es decir, sus productos siempre serán iguales entre sí, independientemente del orden de multiplicación que tenga lugar; en otras palabras, AB = BA.
Prueba:
Consideremos dos matrices diagonales n × n A y B:
\[ A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix} \]
El producto AB viene dado por:
\[ AB = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n b_n \end{pmatrix} \]
De manera similar, el producto BA es:
\[ BA = \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n a_n \end{pmatrix} \]
Como la multiplicación escalar es conmutativa, \(a_i b_i = b_i a_i\) para todo i. Por lo tanto, AB = BA, lo que demuestra que dos matrices diagonales cualesquiera son conmutativas.
Teorema 2: Diferentes potencias de la misma matriz son conmutativas
Otro teorema importante establece que las distintas potencias de una misma matriz son conmutativas. Esto significa que, para una matriz A dada, dos potencias cualesquiera \(A^m\) y \(A^n\) conmutan, es decir, \(A^m A^n = A^n A^m\).
Prueba:
Sea A una matriz n × n. Necesitamos demostrar que \(A^m\) y \(A^n\) conmutan para cualesquiera números enteros no negativos m y n.
Consideremos los productos \(A^m A^n\) y \(A^n A^m\):
\[ A^m A^n = A^{m+n} \]
\[ A^n A^m = A^{n+m} \]
Como la multiplicación de matrices es asociativa, el orden en el que multiplicamos las matrices no afecta el resultado. Por lo tanto, \(A^{m+n} = A^{n+m}\), lo que implica que:
\[ A^m A^n = A^n A^m \]
Esto demuestra que diferentes potencias de la misma matriz son conmutativas.
Teorema 3: Teorema binomial para matrices conmutativas
El teorema del binomio, muy conocido para los escalares, también se aplica a las matrices conmutativas. Si A y B son dos matrices conmutativas, entonces:
\[ (A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k} \]
Prueba:
Sean A y B dos matrices conmutativas, es decir, AB = BA. Utilizaremos la inducción matemática para demostrar el teorema binomial para estas matrices.
Caso base: Para n = 1,
\[(A+B)^1 = A+B \] lo que satisface trivialmente el teorema binomial.
Paso inductivo: Supongamos que el teorema binomial se cumple para algún entero n:
\[ (A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k} \]
Necesitamos demostrar que esto es válido para n + 1:
\[ (A + B)^{n+1} = (A + B)(A + B)^n \]
Utilizando la hipótesis inductiva,
\[ (A + B)^{n+1} = (A + B) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k} \]
Como A y B conmutan, podemos distribuir A + B mediante la suma:
\[ (A + B)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (A + B) A^k B^{n-k} \]
\[ = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (A^{k+1} B^{n-k} + A^k B^{n-k+1}) \]
Reindexando las sumas y combinando términos, obtenemos:
\[ (A + B)^{n+1} = A^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right) A^k B^{n+1-k} + B^{n+1} \]
Utilizando la identidad \(\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}\),
\[ (A + B)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} A^k B^{n+1-k} \]
Por tanto, el teorema binomial se cumple para n + 1, completando la inducción.
Teorema 4: Si las matrices A y B pueden ser diagonalizadas por la misma matriz invertible P, entonces A y B son conmutativas
Este teorema establece que si dos matrices, A y B, pueden ser diagonalizadas simultáneamente por la misma matriz invertible, P, entonces A y B conmutan. En otras palabras, si existe una matriz invertible P tal que \(P^{-1}AP\) y \(P^{-1}BP\) son ambas matrices diagonales, entonces AB = BA.
Prueba:
Supongamos que A y B pueden diagonalizarse mediante la misma matriz invertible P. Esto significa que existen matrices diagonales \(D_A\) y \(D_B\) tales que:
\[ P^{-1}AP = D_A \]
\[ P^{-1}BP = D_B \]
Para demostrar que A y B viajan diariamente, necesitamos demostrar que AB = BA.
Consideremos el producto AB:
\[ AB = A(PP^{-1}) B = A(PD_BP^{-1}) = (P D_A P^{-1})(P D_B P^{-1}) \]
Como \(P^{-1}P = I\), la matriz identidad, tenemos:
\[ AB = P D_A (P^{-1} P) D_B P^{-1} = P D_A D_B P^{-1} \]
De manera similar, considere el producto \(BA\):
\[ BA = B(PP^{-1}) A = B(PD_A P^{-1}) = (P D_B P^{-1})(P D_A P^{-1}) \]
\[ BA = P D_B (P^{-1} P) D_A P^{-1} = P D_B D_A P^{-1} \]
Como \(D_A\) y \(D_B\) son matrices diagonales, son conmutativas (como se muestra en el Teorema 1). Por lo tanto, \(D_A D_B = D_B D_A\), y tenemos:
\[ AB = P D_A D_B P^{-1} = P D_B D_A P^{-1} = BA \]
Otros teoremas
Teorema 1:
Si dos matrices A y B tienen vectores propios iguales, son conmutativas
Teorema 2:
Cuando dos matrices, A y B, son conmutativas y sus polinomios mínimos coinciden con sus polinomios característicos de grado máximo, la matriz B puede expresarse como polinomios de la matriz A.
Teorema 3:
Dadas dos matrices hermíticas cualesquiera, A y B, con espacios propios similares, que luego conmutan (siendo AB = BA iguales) y comparten una base ortonormal de vectores propios que conmutan, entonces estos pares de matrices A/B también comparten una base ortonormal de vectores propios entre sí que también conmutan.
Desarrollo histórico de las matrices de desplazamientos
Orígenes tempranos en el siglo XIX
Las matrices conmutativas fueron introducidas durante el siglo XIX por James Joseph Sylvester y Arthur Cayley, dos matemáticos influyentes de esa época. Sylvester introdujo el término "matriz" en 1850 al explicar su naturaleza como objetos algebraicos con propiedades que incluían la conmutatividad para simplificar sistemas de ecuaciones lineales ; Cayley realizó importantes contribuciones que expandieron aún más este campo.
El artículo de Arthur Cayley de 1858 sobre el teorema de Cayley-Hamilton estableció la teoría de matrices moderna al mostrar cómo las matrices satisfacían sus polinomios característicos. Además, Cayley y Sylvester demostraron cómo las matrices conmutativas podían diagonalizarse simultáneamente para fines de diagonalización, lo que enfatizó aún más su importancia y abrió nuevos caminos en las matemáticas y las ciencias aplicadas.
Maduración y aplicaciones en el siglo XX
Desde 1900, se han logrado avances significativos en las matrices conmutativas, particularmente en mecánica cuántica y álgebra lineal. Las relaciones de conmutación entre operadores desempeñan un papel esencial en la teoría cuántica, como el principio de incertidumbre de Heisenberg. Las matrices conmutativas pueden diagonalizarse instantáneamente para simplificar las transformaciones lineales y el análisis de sistemas, una capacidad que se aplica en el análisis de estabilidad, el modelado de sistemas dinámicos y el álgebra lineal numérica, lo que proporciona más eficiencia y precisión durante los cálculos matriciales.
La capacidad de diagonalizar matrices simultáneamente simplifica enormemente la complejidad de las operaciones matriciales , lo que genera ventajas en aplicaciones que van desde gráficos de computadora y simulaciones de ingeniería hasta transacciones financieras y pronósticos estadísticos, pruebas de irracionalidad estadística e investigación de visión por computadora. Los avances en la comprensión de las matrices conmutativas durante el último siglo han tenido un efecto transformador increíble en la investigación matemática teórica y aplicada, ampliando el trabajo de los matemáticos del siglo XIX y al mismo tiempo dando forma a los proyectos de investigación de ciencia e ingeniería modernos.
Aplicaciones de las matrices de desplazamiento en la vida real
Aplicaciones de las matrices conmutativas en economía
Las matrices de conmutación desempeñan un papel fundamental en la economía, en particular en los modelos de insumo-producto, los problemas de optimización y las previsiones económicas. Las matrices de conmutación cumplen una función analítica al garantizar que el orden de las operaciones no altere los resultados generales de los modelos de insumo-producto, lo que ayuda a los economistas a comprender mejor las interdependencias entre sectores. Los modelos de insumo-producto de Leontief utilizan matrices de Leontief para representar los insumos necesarios de un sector para producir la producción de otro; cuando estos insumos se conmutan, su cálculo simplifica la producción económica general, así como los impactos debidos a los cambios en sectores específicos, lo que ayuda a los responsables de las políticas a planificar intervenciones y analizar los shocks de forma más rápida y completa que antes.
Las matrices conmutativas pueden ayudar al proceso de solución de problemas de optimización que involucran programación lineal, especialmente aquellos que involucran programación lineal con restricciones, de manera similar a los modelos económicos que incluyen la optimización de una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Además, sus propiedades conmutativas permiten realizar pronósticos más confiables, que informan con mayor precisión las decisiones sobre políticas monetarias y fiscales.
Aplicaciones de las matrices conmutativas en los sistemas de comunicación
Las matrices de conmutación desempeñan un papel esencial en los sistemas de comunicación para el procesamiento de señales, la corrección de errores y el análisis de redes. Al vincular varias etapas de transformación de señales en sus secuencias de tiempo de tránsito, las matrices de conmutación agilizan el diseño y el análisis de protocolos, al tiempo que garantizan que su secuencia no influya en el resultado final. Los sistemas MIMO que utilizan sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas también se benefician enormemente del uso de dicha optimización para crear algoritmos de detección y decodificación eficientes para mejorar el rendimiento del sistema y, por lo tanto, aumentar la funcionalidad general del sistema.
Los códigos de corrección de errores también aprovechan las matrices de conmutación, lo que hace que su procesamiento sea más rápido y más confiable, características esenciales en los sistemas de comunicación de alta velocidad para mantener la integridad de los datos. El análisis de redes utiliza una representación matricial de conexiones y flujos como base para optimizar los esfuerzos de optimización para maximizar el rendimiento de los datos y, al mismo tiempo, reducir la latencia; en general, las matrices de conmutación simplifican las operaciones complejas para aumentar la eficiencia y la confiabilidad dentro de los sistemas de comunicación esenciales en la sociedad interconectada de hoy.
