¿Qué es el cálculo?
Una introducción a la definición, historia y aplicación del cálculo y un complemento de conocimientos sobre sus dos ramas principales y teoremas y temas relacionados.
Alice Brooks
Dec 20, 2024 12 minutos leer
El cálculo es la rama de las matemáticas que investiga las tasas de cambio. Imagina que estás conduciendo tu coche por la autopista. De repente, el semáforo se pone en verde: ¿cómo aumenta tu velocidad tan pronto como empieza a moverse hacia la intersección y cómo se calcula la aceleración? Estos ejemplos ocurren a lo largo de la vida diaria, ya que nuestro mundo cambia y se transforma constantemente; en este artículo analizaremos su formación con más detalle. ¿Qué es el cálculo? ¿Cuál es la tasa de cambio?
Definición
Definición básica
El cálculo trata fundamentalmente de comprender cómo cambian las cosas y proporciona herramientas para cuantificar los cambios, tanto lineales como no lineales. Explora los comportamientos de las funciones a medida que cambian con efectos instantáneos y acumulativos.
Dos ramas principales
El cálculo se puede dividir en dos ramas principales: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El cálculo diferencial utiliza las derivadas (tasas de cambio que representan tasas de cambio) como punto central; ayuda a las personas a comprender mejor las pendientes de las curvas, los problemas de optimización y el movimiento, mientras que el cálculo integral se ocupa principalmente de las integrales para acumular y analizar el área bajo curvas como una forma de encontrar cantidades totales como áreas, volúmenes u otras medidas acumulativas. Ambas ramas se entrelazan a la perfección, utilizando los límites como concepto fundamental para resolver problemas del mundo real, desde cálculos de velocidad hasta la búsqueda de áreas bajo curvas.
Etimología
El cálculo tiene un origen intrigante en la antigüedad; su nombre deriva de la palabra latina para piedra pequeña (calculus). Las civilizaciones antiguas dependían de pequeñas piedras o guijarros como herramientas de conteo para los primeros cálculos aritméticos, una forma primitiva temprana de conteo que permitía a los comerciantes y académicos realizar operaciones matemáticas básicas como la suma y la resta. Con el tiempo, el cálculo se asoció con principios y sistemas más sofisticados de computación matemática. En la Edad Media, "cálculo" se convirtió en sinónimo de cualquier método o sistema de cálculo formal. Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz fueron los pioneros de nuestro marco matemático actual durante el siglo XVII; para entonces, "cálculo" había llegado a simbolizar procesos sistemáticos rigurosos utilizados para estudiar las tasas de cambio y acumulación, lo que refleja su importancia histórica y metodológica.
Historia
Aquí, ofreceremos una breve introducción y revisión histórica de la invención del cálculo.
Los precursores del cálculo
El cálculo no nació de la noche a la mañana, sino que se hizo realidad a través de siglos de innovación y pensamiento matemático. Arquímedes, famoso matemático de la antigua Grecia, desarrolló la idea de los "indivisibles", un intento temprano de comprender áreas y volúmenes descomponiendo sus medidas en cantidades infinitamente pequeñas, un precursor temprano de los infinitesimales modernos. Utilizó estas ideas para calcular áreas y volúmenes de círculos y parábolas, así como volúmenes de esferas y cilindros. Liu Hui, de la antigua China, utilizó el método de agotamiento (aproximando áreas inscribiendo polígonos cada vez más pequeños dentro de ellas para aproximarlas) antes de que surgiera el cálculo integral, que resumía todas sus áreas, creando así un puente entre las cantidades discretas y las continuas.
La creación del cálculo
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz inventaron el cálculo de forma independiente a finales del siglo XVII, lo que marcó un punto de inflexión histórico en el desarrollo matemático. Newton hizo avances significativos para la ciencia a través de sus estudios del movimiento y las fuerzas. Introdujo la derivada para describir los cambios instantáneos de velocidad, algo fundamental para comprender sus leyes del movimiento y la gravitación universal. Leibniz abordó el cálculo desde un punto de vista académico, utilizando la notación integral y métodos sistemáticos de cálculo para establecer el cálculo como una disciplina matemática. Su notación para diferenciales influyó enormemente en las representaciones modernas y la enseñanza del cálculo; sus esfuerzos combinados sentaron las bases para un marco matemático unificado capaz de resolver problemas de geometría, física y más allá; sin embargo, sus contribuciones dieron lugar a una controversia en curso sobre quién de ellos inventó primero el cálculo.
Conceptos básicos del cálculo diferencial
Limits
Los límites forman la base del cálculo, ya que nos muestran lo que sucede cuando la entrada se acerca a un valor determinado, lo que nos permite comprender el comportamiento repentino, imprevisto o impredecible de las funciones, como alcanzar el infinito o cambios repentinos. A continuación, se muestran ejemplos de límites comunes:
- \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0\)
- \(\lim_{{x \to 0}} \sin(x) = 0\)
- \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1) = 0\)
Derivados
Definición
Una derivada , que se denota como \(f'(x)\) o \(\frac{dy}{dx}\), representa la tasa de cambio de una función con respecto a una variable. Las derivadas se pueden utilizar para determinar la pendiente del gráfico de una función en cualquier punto. Por ejemplo, nos puede ayudar a encontrar máximos y mínimos locales de funciones al establecer f'(x) = 0 y resolver para x, lo que se conoce como análisis del punto crítico. A continuación, se muestran algunas derivadas de funciones comunes:
- For \(f(x) = x^n\), a power function, the derivative is \(f'(x) = nx^{n-1}\).
- For \(f(x) = \sin(x)\), a trigonometric function, the derivative is \(f'(x) = \cos(x)\).
- For \(f(x) = e^x\), an exponential function, the derivative is \(f'(x) = e^x\).
Regla de la cadena
La regla de la cadena es un principio fundamental del cálculo que se utiliza para calcular la derivada de una función compuesta. Si \(y = f(u)\) y \(u = g(x)\), entonces la derivada de \(y\) con respecto a \(x\) viene dada por \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\).
Continuidad y diferenciabilidad
Continuidad
Una función \(f(x)\) es continua en un punto \(a\) si \(\lim_{{x \to a}} f(x) = f(a)\). La continuidad implica que no hay saltos o rupturas repentinas en el gráfico de la función en ese punto.
Por ejemplo, la función \(f(x) = x^2\) es continua en todas partes porque \( \lim_{{x \to a}} x^2 = a^2 = f(a) \). Por otro lado, una función como \(f(x) = \frac{1}{x}\) no es continua en x = 0 porque tiene una asíntota vertical allí, lo que provoca una ruptura en el gráfico.
Diferenciabilidad
En cualquier punto a, se puede decir que una función es diferenciable si su derivada puede representarse como una sola línea tangente; la diferenciabilidad no requiere esquinas agudas ni cúspides en esta ubicación, y su tasa de cambio permanece constante a lo largo del tiempo. Un beneficio importante es su continuidad; las funciones diferenciables no saltan ni se rompen; por ejemplo, la función \(f(x) = x^3\) es continua y diferenciable en cualquier lugar donde exista. Sin embargo, no todas las funciones continuas también pueden ser diferenciadas; por ejemplo, la función de valor absoluto \(f(x) = |x|\) en esta ubicación debido a las esquinas agudas en esa ubicación.
Conceptos básicos del cálculo integral
Integración
El cálculo integral se ocupa de la acumulación y de las áreas bajo curvas; sus conceptos clave son la integración, las integrales definidas y las integrales indefinidas. La integración se refiere a hallar la integral de cualquier función que represente acumulación, ya sea como cantidades acumuladas o como áreas bajo curvas.
Integral definida
Una integral definida calcula la acumulación de una cantidad en un intervalo \([a, b]\). Se denota por \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\). Las integrales definidas tienen muchos usos en diversas áreas, desde el cálculo del área bajo curvas y las cantidades totales de acumulación hasta la resolución de problemas físicos que involucran masa, carga o distribuciones de probabilidad. A continuación, se presentan ejemplos de integrales definidas utilizadas con funciones comunes:
- For \(f(x) = x\), \(\int_{a}^{b} x \, dx = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2}\).
- For \(f(x) = \sin(x)\), \(\int_{a}^{b} \sin(x) \, dx = -\cos(x) \bigg|_{a}^{b} = \cos(a) - \cos(b)\).
- For \(f(x) = e^x\), \(\int_{a}^{b} e^x \, dx = e^x \bigg|_{a}^{b} = e^b - e^a\).
Integral indefinida
Una integral indefinida representa la familia de antiderivadas de una función, denotada por \(\int f(x) \, dx\), donde el resultado es una expresión general que incluye una constante de integración (\( C \)). Las integrales indefinidas tienen un lugar indispensable en muchos contextos matemáticos y prácticos, incluyendo la resolución de ecuaciones diferenciales, la búsqueda de soluciones generalizadas para problemas de acumulación y el modelado de procesos de crecimiento/decrecimiento continuo. A continuación se presentan algunos ejemplos de integrales indefinidas para funciones comunes:
- For \(f(x) = x^n\), \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
- For \(f(x) = \cos(x)\), \(\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C\).
- For \(f(x) = e^x\), \(\int e^x \, dx = e^x + C\).
Otros temas de cálculo
Aquí destacamos principalmente series, derivadas parciales e integrales múltiples como ejemplos, pero para cualquiera que quiera profundizar aún más en el aprendizaje del cálculo, ¡recomendamos encarecidamente Upstudy !
Derivadas parciales
Definición
Las derivadas parciales son derivadas de funciones con múltiples variables, como f(x, y, z). Representan la tasa de cambio de la función con respecto a una variable mientras se mantienen constantes las otras variables. Por ejemplo, la derivada parcial de f(x, y) con respecto a x se denota por \( \frac{\partial f}{\partial x} \), y mide cómo cambia f a medida que cambia x, manteniendo y fija.
Regla de la cadena
La regla de la cadena en el cálculo multivariable se extiende a las derivadas parciales. Si \(z = f(x,y)\), entonces \(\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}\).
Integrales múltiples
Las integrales múltiples amplían la integración para incluir funciones con varias variables y variables de múltiples dimensiones, lo que nos permite calcular cantidades en tres dimensiones, como el área de superficie o la masa de láminas. Las integrales triples (\(\int \int \int f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz\)) nos permiten calcular volúmenes en el espacio tridimensional (por ejemplo, encontrar volúmenes de regiones sólidas o cargas totales dentro de campos eléctricos), lo que proporciona un análisis y cálculos precisos de propiedades espaciales.
Serie infinita
Una serie infinita es una suma de una cantidad infinita de términos de una secuencia, que a menudo se escribe como \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \). Además de las series infinitas, existen muchos otros tipos de series , incluidas las series de polvos, que los matemáticos siempre utilizan para representar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y estudiar la convergencia y la divergencia.
Teoremas comunes del cálculo
Teorema fundamental del cálculo
El Teorema Fundamental del Cálculo crea un vínculo crucial entre la diferenciación y la integración, que consta de dos partes esenciales.
1. La primera parte establece que si \( F \) es una antiderivada de \( f \) en el intervalo \([a, b]\), entonces la integral definida de \( f \) desde \( a \) hasta \( b \) está dada por \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \). Esta parte establece cómo la acumulación de los valores de una función en un intervalo se relaciona con sus antiderivadas.
2. La segunda parte afirma que si \( f \) es continua en \([a, b]\), entonces la función \( F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \) es continua en \([a, b]\), diferenciable en \((a, b)\), y su derivada es \( F'(x) = f(x) \). Esto conecta el proceso de integración con la diferenciación, mostrando que la integración puede revertirse mediante la diferenciación.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle es un resultado fundamental en cálculo que establece las condiciones bajo las cuales una función debe tener al menos un punto donde su derivada sea cero. Establece que si una función \(f\) es continua en un intervalo cerrado \([a, b]\), diferenciable en el intervalo abierto \((a, b)\), y satisface la condición \(f(a) = f(b) \), entonces existe al menos un punto \(c\) dentro del intervalo abierto \((a, b)\) donde la derivada \(f'(c) = 0 \). En otras palabras, hay al menos un punto donde la tangente a la curva es horizontal.
Teorema de Taylor
El teorema de Taylor proporciona una aproximación de funciones cercanas a puntos con polinomios. Si una función f es infinitamente diferenciable en algún punto a, entonces se puede expresar una suma infinita de sus derivadas en este punto, conocida como serie de Taylor, para aproximarla. El teorema se escribe formalmente como \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \), donde \( f^{(n)}(a) \) representa la derivada n-ésima de f evaluada en a, y \( n! \) denota el factorial de n.
A continuación se muestran algunos ejemplos:
1. Función exponencial (\( e^x \)):
\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]
Esta serie converge a \( e^x \) para todos los \( x \) reales.
2. Función seno (\( \sin(x) \)):
\[\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\]
Esta serie converge a \( \sin(x) \) para todo \( x \) real.
3. Logaritmo natural (\( \ln(1+x) \)):
\[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}} {n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\]
Esta serie converge para \(-1 \lt ax \le 1 \).
Aplicaciones del cálculo
El papel del cálculo en la física
El cálculo desempeña un papel indispensable en la ciencia física. Permite a los científicos describir y predecir el comportamiento de los sistemas físicos al proporcionar cálculos precisos que miden el movimiento, las fuerzas y la energía; analizar los campos electromagnéticos; así como comprender los principios de la termodinámica. El cálculo ayuda en muchas aplicaciones diferentes dentro de estas disciplinas, como la trayectoria de un proyectil mediante ecuaciones diferenciales, el trabajo de fuerza realizado a lo largo de la distancia mediante integrales y el análisis de formas de onda en electricidad o magnetismo, entre muchos otros usos.
Cálculo en economía
En economía, el cálculo desempeña un papel esencial en la modelización y optimización de los sistemas financieros, la identificación de tendencias, la predicción de resultados económicos y la modelización del análisis del comportamiento del consumidor a través de la maximización de la utilidad o funciones de demanda que permiten una mejor predicción de las reacciones del mercado o los cambios de precios. El cálculo diferencial permite a los economistas calcular las relaciones de costos marginales/ingresos marginales, lo que les permite evaluar las relaciones de costos marginales/ingresos marginales al producir una unidad más de un producto/servicio, mientras que el cálculo diferencial permite a los economistas determinar las relaciones de costos marginales/ingresos, lo que ayuda a los economistas a analizar el comportamiento del consumidor/las reacciones del mercado/los cambios de precios con mayor precisión al ayudar a los analistas económicos a predecir estos números con antelación.
