¿Qué son los números complejos? Definición, propiedades y aplicaciones

Los números complejos ofrecen una extensión intrigante al sistema de números reales y tienen muchas aplicaciones en diversas disciplinas de matemáticas y ciencia. Los números complejos pueden considerarse como expresiones que contienen partes reales e imaginarias, típicamente escritas como la expresión \(a+bi\) , donde i representa la unidad imaginaria que satisface \(i^2 = -1\). Los números complejos fueron inventados inicialmente para resolver ecuaciones que no pueden resolverse solo con números reales, como resolver ecuaciones como \(x^2 +1=0\). Hoy en día, los números complejos siguen siendo un componente integral de la teoría matemática moderna y de las ciencias aplicadas; su origen se remonta a Europa en el siglo XVI y desempeñan un papel esencial en la ingeniería eléctrica, la dinámica de fluidos, la física cuántica, el procesamiento de señales, así como en aplicaciones de investigación teórica.

Definición Básica de Números Complejos

Conceptos Principales de Números Complejos

Números Reales y Números Imaginarios

Los números reales representan cantidades a lo largo de una línea continua, como enteros, fracciones y números irracionales. Un número imaginario difiere en que al ser cuadrado resulta en raíces cuadradas negativas - esta unidad imaginaria fundamental se denota como "i", con su raíz cuadrada igualando 1. Los números complejos combinan estos dos tipos de números para representar cantidades con componentes reales e imaginarios.

Componentes Básicos de Números Complejos y Unidad Imaginaria (i)

Los números complejos consisten en dos partes principales, la parte real y la parte imaginaria. Se suelen representar como \(a+bi\), donde a es el componente real y \(bi\) es la parte imaginaria. Una unidad imaginaria llamada \(i\), que cumple esta condición, permite a los números complejos extender el sistema de números reales proporcionando soluciones a ecuaciones sin soluciones reales, como las relacionadas con la gravedad o los osciladores armónicos.

El componente real a de un plano complejo representa puntos en su eje horizontal; el componente imaginario \(bi\) denota puntos en su eje vertical. Juntos, estos componentes ofrecen un marco comprensivo para describir cantidades que tienen tanto magnitud como dirección - aplicable en dominios científicos e ingenieriles.

La unidad imaginaria, frecuentemente denotada como "i", es un concepto matemático esencial utilizado para expandir el sistema de números reales a números complejos. Se define por la propiedad \(i^2 = -1\) que no tiene solución numérica real y permite a los números complejos tales como los expresados usando \(a+bi\) donde ambos elementos a y b son números reales existir. Además, esta unidad simplifica mucho las ecuaciones de raíz cuadrada, haciéndola vital para campos como la ingeniería, la física y el análisis complejo.

Como sabemos, 0 es un número real y los números reales pertenecen a los números complejos; por lo tanto, también puede ser considerado un número complejo y representado como \(0+0i\) .

Módulo y Valor Absoluto

El módulo (o valor absoluto) de un número complejo se utiliza como una indicación de su magnitud en cualquier dirección en el plano complejo. Para un número complejo \(z=a+bi\), el módulo se denota como \(\left| z \right|\) y se calcula usando la fórmula:

\(\left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Este cálculo puede ser considerado como la distancia euclidiana desde el punto\((a,b)\)que representa \(z\) en el plano complejo a su origen \((0,0)\).

Por ejemplo, consideremos el número complejo \(z=3+4i\). El módulo de \(z\) es:

\(\left| z \right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Esto indica que \(z=3+4i\) al origen está situado cinco unidades en el plano complejo.

El concepto de módulo puede ser bien utilizado en diversas aplicaciones, desde ingeniería eléctrica y análisis complejo hasta ingeniería eléctrica y análisis complejo. Proporciona una manera de cuantificar el tamaño de los números complejos, además de desempeñar un papel esencial en la representación polar (donde los números complejos se expresan en términos de su módulo y argumento\((θ)\)).

En general, el módulo de un número complejo es un concepto invaluable que ayuda a entender tanto su significado geométrico como físico, siendo un activo en matemáticas teóricas y aplicadas.

Raíces Complejas y Raíces de Unidad

Las raíces complejas extienden el concepto de raíces más allá de los números reales. Una raíz compleja de cualquier número se define como la solución de una ecuación en la forma \(z^n = k\) con ambos términos siendo números complejos; la raíz de unidad es un caso especial de tales raíces complejas ya que satisfacen la ecuación \(z^n = 1\) siendo todos los números desde cero hasta \(n-1\) números complejos y están uniformemente distribuidos alrededor del círculo unitario en el plano complejo.

Propiedades de los Números Complejos

Conjugado de un Número Complejo, Teorema de Raíces Conjugadas Complejas

Conjugar números complejos implica cambiar el signo de su parte imaginaria mientras se mantiene intacta su parte real. Para un número complejo \(z=a+bi\) , su conjugado se denota como \(\overline{z}\) y se da por: \(\overline{z} = a - bi\)

El conjugado de un número complejo lo refleja a través del eje real en el plano complejo, proporcionando una operación matemática útil para resolver ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y simplificar la división de números complejos. Por ejemplo, si \(z =3+4i\), entonces su conjugado es \(\overline{z}=3−4i\) . Las propiedades del conjugado incluyen \(| \overline{z}|​=z\) y \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}​​\), que son fundamentales en la teoría de números complejos.

El Teorema de Raíces Conjugadas Complejas afirma que, para cualquier polinomio con coeficientes reales y una raíz compleja \(a+bi\) , su conjugado complejo también debe ser una raíz. Esto asegura que las raíces no reales de polinomios reales siempre ocurren en pares conjugados para preservar su carácter real.

Recíproco de un Número Complejo

El recíproco de un número complejo \(z=a+bi\) se da por \(\frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}\). Esta fórmula emplea el conjugado para facilitar la división de números complejos al estandarizar el denominador.

Orden de los Números Complejos

Los números complejos no siguen un conjunto ordenado de reglas como los números reales; su estructura se encuentra en dos dimensiones del espacio en lugar de tres, por lo tanto, no hay una manera definitiva de definir números complejos uno después del otro de manera clara.

Igualdad de los Números Complejos

Dos números complejos \(a+bi\) y \(c+di\)Operaciones con Números Complejos

Suma de Números Complejos

La suma de números complejos se realiza sumando sus respectivas partes reales e imaginarias. Dados dos números complejos \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\), su suma\(z = z_1 + z_2\) se calcula como: \(z = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\) .

Ley de Encerramiento

La suma de dos números complejos sigue siendo un número complejo.Si \(z_1​\) y \(z_2\) son números complejos, entonces \(z = z_1 + z_2\) también es un número complejo.

Ley Conmutativa

La suma de números complejos es conmutativa, lo que significa que sumar dos números complejos juntos produce resultados iguales:\(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\).

Ley Asociativa

La suma de números complejos es asociativa, entonces \((z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)\)

para cualquier número complejo \(z_1, z_2, z_3\)

Elemento Identidad

El elemento identidad para la adición es \(0\) (que se puede escribir como \(0+0i\) en forma compleja). Para cualquier número complejo \(z=a+bi\): \(z+0=z\).

Elemento Inverso

La adición se puede ilustrar como la negación de números complejos. Para cualquier número complejo \(z=a+bi\), el inverso es \(−z=−a−bi\). Así: \(z+(−z)=0\).

Operación de Resta

Restar números complejos puede lograrse de la misma manera que sumarlos, dividiendo primero sus componentes reales e imaginarios antes de restar. Para \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\), la diferencia \(z = z_1 - z_2\)​ es:\(z = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i\)

Este método asegura una operación de resta sencilla siguiendo las reglas aritméticas aplicables a números reales.

Operación de Multiplicación

La multiplicación de números complejos involucra más complejidad debido a sus unidades imaginarias. Al multiplicar dos números complejos \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\) respectivamente, su producto \(z = z_1 z_2\) se puede determinar usando la propiedad distributiva:

\(z = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i\)

La clave es recordar que \(i^2 = -1\) al combinar partes reales e imaginarias.

Operación de División

Dividir números complejos requiere el uso del conjugado. Para \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\), el cociente \(z = \frac{z_1}{z_2}\) se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

\(z = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} = \frac{1}{a_2^2 + b_2^2} \left( (a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 + a_1 b_2)i \right)\)

Identidad para Números Complejos

Los números complejos utilizan ceros para la suma, y unos para la multiplicación; por lo tanto, cualquier número complejo como \(z=a+bi\) puede escribirse como: \(z+0=z\) y \(1=z\), manteniendo su valor original. Aquí hay seis identidades comúnmente encontradas al trabajar con números complejos que los usuarios frecuentes deben memorizar:

\(\begin{align*} (z_1 + z_2)^2 &= z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2 \\ (z_1 - z_2)^2 &= z_1^2 + z_2^2 - 2z_1z_2 \\ z_1^2 - z_2^2 &= (z_1 + z_2)(z_1 - z_2) \\ (z_1 + z_2)^3 &= z_1^3 + 3z_1^2 z_2 + 3z_2^2 z_1 + z_2^3 \\ (z_1 - z_2)^3 &= z_1^3 - 3z_1^2 z_2 + 3z_2^2 z_1 - z_2^3 \\ (z_1 + z_2 + z_3)^2 &= z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2z_1z_2 + 2z_1z_3 + 2z_2z_3 \end{align*}\)

Representación Geométrica de Números Complejos

¿Qué es el Plano Complejo?

El Plano Complejo, también llamado plano de Argand, es un gráfico bidimensional donde los números complejos pueden representarse gráficamente. El eje horizontal muestra la parte real mientras que el vertical ilustra la parte imaginaria; para un número complejo \(z =a+bi\) aparecería como el punto \((a,b)\). Esta representación geométrica permite a los usuarios visualizar los números complejos y sus operaciones más fácilmente, mejorando así la comprensión y el análisis.

Argumento de un Número Complejo

El argumento de un número complejo se utiliza para medir el ángulo entre su línea de representación en el plano complejo y el eje real positivo de ese número. Se denota como \(\arg(z)\)o \(\theta\) y da la dirección del número complejo desde el origen.

Para un número complejo \(z=a+bi\) , donde a es la parte real y b es la parte imaginaria, el argumento \(\theta\) es el ángulo entre el eje real positivo y el segmento de línea que une el origen con el punto \((a,b )\) en el plano complejo.

El argumento \(\theta\) puede calcularse usando la función arctangente:

\(\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)\)

Sin embargo, se debe tener cuidado para determinar el cuadrante correcto del ángulo ya que la función arctangente solo devuelve valores entre\(-\frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad \frac{\pi}{2}\).

\(\begin{cases} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) & \text{si } a > 0 \text{ y } b \geq 0 \\ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + \pi & \text{si } a < 0 \\ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + 2\pi & \text{si } a > 0 \text{ y } b < 0 \\ \theta = \frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0 \text{ y } b > 0 \\ \theta = -\frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0 \text{ y } b < 0 \\ \end{cases}\)

Considera el número complejo\(z = 1 + \sqrt{3}i\). Para encontrar el argumento \(\theta\) :

\(\begin{align*} z &= 1 + \sqrt{3}i \\ |z| &= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) = \tan^{-1} (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \end{align*}\)

Representación Polar de Números Complejos

La representación polar expresa números complejos por su módulo y argumento. En lugar de escribir números complejos como "z" en una ecuación de esta manera:
\(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\)，donde \(r =∣z∣\) es el módulo y \(\theta = \arg(z)\) es el argumento. Por ejemplo, \(z=1+i\) puede representarse como \(\sqrt{2} \left( \cos 4\pi + i \sin 4\pi \right)\)

Aplicación de Coordenadas de Rotación de Puntos

Rotar puntos en el plano complejo con números complejos es sencillo gracias a su representación polar. Un número complejo como \(z = e^{i\varphi}\). puede escribirse en dos formas polares: una que representa su módulo (o magnitud) mientras la otra representa su argumento (o ángulo).

Para rotar un número complejo \(z\) por un ángulo \(\varphi\), multiplica \(z\) por \(e^{i\varphi}\). Esta operación resulta en un nuevo número complejo \(z' = z \cdot e^{i\varphi} = r e^{i\theta} \cdot e^{i\varphi} = r e^{i(\theta + \varphi)}\)
El módulo permanece constante en \(r\), mientras que el argumento se convierte en \((\theta + \varphi)\)，rotando efectivamente un punto por \(\varphi\) radianes en el plano complejo.

Considera el número complejo\(z=1+i\), que tiene un módulo \(r = \sqrt{2}\) y un argumento \(\theta = 4\pi​\). Para rotar \(z\) por \(2\pi\) radianes:
\(z' = \sqrt{2} e^{i4\pi} \cdot e^{i2\pi} = \sqrt{2} e^{i(4\pi + 2\pi)} = \sqrt{2} e^{i6\pi}\)

Convirtiendo de nuevo a la forma rectangular:
\(z' = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i\)

Conocimiento Suplementario de Números Complejos

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler ofrece un puente increíble entre el análisis complejo y la trigonometría, expresado como:\(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)

Esta elegante ecuación sirve como base para la representación polar de los números complejos. Si el ángulo \(\theta = \pi\) se elige como el valor variable para esta fórmula, \(e^{i\pi} + 1 = 0\) aparece, unificando constantes fundamentales de diferentes campos matemáticos en un único valor de identidad.

La fórmula de Euler afirma que la exponenciación compleja con un exponente imaginario puede expresarse usando funciones trigonométricas, lo que la convierte en una herramienta invaluable para simplificar expresiones de números complejos y tiene aplicaciones de largo alcance en matemáticas e ingeniería.

Procesamiento de Señales: La fórmula de Euler se puede usar para representar señales sinusoidales como exponenciales complejas, simplificando el análisis y la manipulación en el dominio de la frecuencia.

Ingeniería Eléctrica: La fórmula de Euler desempeña un papel esencial en el análisis de circuitos de CA, donde el voltaje y la corriente se pueden representar como fasores utilizando la fórmula de Euler. Mecánica Cuántica: La fórmula de Euler sirve para describir funciones de onda y estados cuánticos que a menudo toman la forma de exponenciales complejas.

Sistemas de Control: Asiste en el diseño y análisis de sistemas de control al simplificar las representaciones de comportamiento oscilatorio y bucles de retroalimentación.

Rotaciones en el Plano Complejo: La fórmula de Euler puede usarse para realizar rotaciones y transformaciones en planos complejos, haciéndola una herramienta indispensable en campos como gráficos por computadora y robótica.

Teorema de De Moivre

El teorema de De Moivre extiende las potencias y raíces de números complejos. Establece que para cualquier entero n y número complejo \(z = re^{i\theta} \quad : \quad z^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)\)
Simplifica los cálculos que involucran potencias y raíces de números complejos, siendo esencial para resolver ecuaciones polinómicas y analizar funciones periódicas.

Además, este teorema tiene aplicaciones en procesamiento de señales, ingeniería eléctrica, mecánica cuántica para describir formas de onda y oscilaciones, así como para derivar identidades trigonométricas y simplificar fórmulas de ángulo múltiple en matemáticas.

Enteros Gaussianos

Los enteros gaussianos son números complejos con componentes reales e imaginarios expresados como enteros, típicamente expresados en la forma \(a+bi\) donde ambos componentes son enteros. Estos números forman una cuadrícula en el plano complejo y forman parte del conjunto de números complejos; sus propiedades de factorización única les permiten tener muchas aplicaciones dentro de la teoría de números, como resolver ecuaciones polinómicas con soluciones enteras o estudiar propiedades de factorización únicas dentro de todos los números complejos.

Conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es una colección de números complejos que produce un grupo fractal cuando se itera a través de una ecuación cuadrática particular \(z_{n+1} = z_n^2 + c\). Este subconjunto del plano complejo presenta un borde intrincado que exhibe autosimilitud en varias escalas; por lo tanto, es ideal para su estudio dentro de la teoría del caos y la geometría fractal.

Aplicaciones de Números Complejos en Física

Análisis de Circuitos

Los números complejos son ampliamente utilizados en ingeniería eléctrica para modelar impedancia. La impedancia representa resistencia y reactancia en circuitos de corriente alterna. La impedancia \(Z\) se da como \(Z =R+iX\) , donde \(R\) es la resistencia, y \(X\) la reactancia, facilitando el análisis del comportamiento del circuito.

Movimiento Armónico Simple

El Movimiento Armónico Simple (MAS) es un tipo de movimiento periódico en el cual la fuerza restauradora de un objeto está directamente relacionada con su desplazamiento desde el equilibrio, actuando en dirección opuesta a ese desplazamiento. Este tipo de movimiento periódico se distingue por sus patrones sinusoidales tanto en desplazamiento como en velocidad/aceleración a lo largo del tiempo.

En el MAS, un objeto oscila de un lado a otro alrededor de una posición de equilibrio. El movimiento ocurre de tal manera que la aceleración del objeto \(a(t )\) es proporcional a su desplazamiento \(x (t )\) por un factor constante \(-\omega^2\), donde \(\omega\) es la frecuencia angular:\(a(t) = -\omega^2 x(t)\)
Dado esto, el desplazamiento \(x(t )\) como función del tiempo \(t\) puede describirse por:
\(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)，donde \(A\) es la amplitud del movimiento,\(\omega\) es la frecuencia angular, y \(\varphi\) es la constante de fase.

El MAS puede observarse en pequeñas oscilaciones de un péndulo, donde su fuerza restauradora es la gravedad actuando a lo largo de su arco; cuando la masa unida a un resorte se desplaza del equilibrio y se libera, también experimenta MAS; además, las vibraciones dentro de las moléculas a menudo aproximan el movimiento armónico simple, lo que proporciona claves importantes en la termodinámica y la mecánica cuántica.

Mecánica Cuántica

La ecuación de Schrödinger, un componente esencial de la mecánica cuántica, utiliza funciones de onda complejas \(\psi(x, t)\) para describir el estado cuántico de las partículas. Estas funciones de onda representan probabilidades mientras muestran comportamientos complejos influenciados por campos potenciales, resaltando cuán fundamentales son los números complejos en los sistemas cuánticos.

Procesamiento de Señales

El procesamiento de señales implica analizar, alterar y sintetizar señales para extraer información útil u optimizar la transmisión y el almacenamiento. La manipulación de señales emplea técnicas matemáticas para manipular audio, video, datos de sensores o cualquier otra forma. Por ejemplo, en el procesamiento de audio, se emplean técnicas de procesamiento de señales para mejorar la calidad de sonido en música y discursos, haciéndolos más claros y agradables. Las técnicas de procesamiento de imágenes utilizan cámaras digitales y smartphones para mejorar y comprimir imágenes para facilitar el almacenamiento, llevando a fotografías de mayor calidad con requisitos de almacenamiento y uso de ancho de banda reducidos. Mientras tanto, el procesamiento de señales asegura la transmisión eficiente de datos a través de redes mientras disminuye los errores y el uso de ancho de banda. Los ingenieros biomédicos utilizan procesamiento de señales para analizar señales de ECG o MRI para diagnósticos médicos, ayudando a los médicos en el cuidado del paciente. Además, los sistemas de radar y sonar emplean procesamiento de señales para detectar e interpretar señales para la navegación y uso militar, aumentando la precisión y la fiabilidad mientras mejora la precisión y la confiabilidad.

Función Compleja

Las funciones complejas son funciones matemáticas que convierten números complejos en números complejos. Más específicamente, si \(z\) es un número complejo tal que su valor es igual a \(x +yi\) donde \(x\) y \(y\) son números reales entonces su función compleja\(f (z )\) se puede expresar en términos de esta fórmula: \(F(z) = u(x,y) + iv(x,y)\), donde ambas funciones de dos variables reales (\(u\) y \(v\) respectivamente) tienen valores reales.

Las funciones complejas extienden el concepto de funciones al dominio complejo, ofreciendo estructuras y comportamientos más intrincados que las funciones reales. Heredan muchas propiedades fundamentales asociadas a los números complejos, incluidas la adición, multiplicación y representación en el plano complejo, lo que hace que las funciones complejas sean ideales para operaciones y transformaciones en diversos contextos matemáticos o aplicados.

La diferenciabilidad es una de las características distintivas de las funciones complejas. Si una función \(f (z)\) cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann - dos ecuaciones diferenciales parciales diseñadas para asegurar su holomorfía en cada punto dentro de su dominio - entonces se considera diferenciable en el plano complejo.

Las funciones complejas con soluciones diferenciables en todo su dominio son centrales para el análisis complejo, ofreciendo propiedades poderosas como ser representadas como series de potencias.

Ejemplos Relacionados

Cálculos Involucrando la Parte Imaginaria “\(i\)” y Cálculo de Magnitud

Para calcular la magnitud y las partes imaginarias de un número complejo \(z=3+4i\) , el módulo es:
\(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
La parte imaginaria es directamente 4i, haciendo que estas operaciones sean esenciales para entender las propiedades de números complejos y sus equivalentes geométricos en el plano complejo.

Cálculos de Adición, Sustracción, Multiplicación y División

Adición

Problema : Sumar los números complejos \(z_1 = 3 + 4i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 2i\)

Solución :

Paso 1: Identificar las partes reales e imaginarias de cada número complejo.
\(z_1 = 3 + 4i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 2i\)

Paso 2: Sumar las partes reales. \(3+1=4\)

Paso 3: Sumar las partes imaginarias. \(4i+2i=6i\)

Paso 4: Combinar los resultados. \(z_1 + z_2 = 4 + 6i\)

Respuesta : \(4+6i\)

Sustracción

Problema : Restar el número complejo \(z_2 = 1 + 2i \quad \text{de} \quad z_1 = 3 + 4i\)

Solución :

Paso 1: Identificar las partes reales e imaginarias de cada número complejo.
\(z_1 = 3 + 4i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 2i\)

Paso 2: Restar las partes reales. \(3−1=2\)

Paso 3: Restar las partes imaginarias. \(4i−2i=2i\)

Paso 4: Combinar los resultados. \(z_1 - z_2 = 2 + 2i\)

Respuesta : \(2+2i\)

Multiplicación

Problema : Multiplicar los números complejos \(z_1 = 2 + 3i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 4i\)

Solución :

Paso 1: Usar la propiedad distributiva (método FOIL) para expandir \((2+3i )(1+4i )\).
\(z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i\)

Paso 2: Realizar la multiplicación para cada término.

\(2 \cdot 1 = 2\)

\(2 \cdot 4i = 8i\)

\(3i \cdot 1 = 3i\)

\(3i \cdot 4i = 12i^2\)

Paso 3: Recordar que \(i^2 = -1\) y combinar términos semejantes. \(2+8i+3i+12(−1)=2+11i−12\)

Paso 4: Simplificar la expresión. \(2−12+11i=−10+11i\)

Respuesta : \(−10+11i\)

División

Problema : Dividir el número complejo

\(z_1 = 2 + 3i\)

entre

\(z_2 = 1 + 4i\)

Solución :

Paso 1: Escribir la división como una fracción.

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 3i}{1 + 4i}\)

Paso 2: Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

\(\frac{2 + 3i}{1 + 4i} = \frac{(2 + 3i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)}\)

Paso 3: Usar la propiedad distributiva para simplificar. Numerador: 

\((2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 4i = 2 - 8i + 3i - 12i^2\)

\(2 - 8i + 3i + 12 = 14 - 5i\)

Denominador: 

\((1 + 4i)(1 - 4i) = 1 \cdot 1 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17\)

Paso 4: Simplificar la fracción.

\(\frac{14 - 5i}{17} = \frac{14}{17} - \frac{5i}{17}\)

Respuesta :

\(\frac{14}{17} - \frac{5i}{17}\)