¿Qué son los números complejos?
Explore el fascinante mundo de los números complejos y extienda el sistema de números reales a nuevas dimensiones. Este análisis exhaustivo cubre conceptos, propiedades, operaciones y aplicaciones fundamentales en diversos campos científicos y de ingeniería.
Sophia Greene
Dec 24, 2024 18 minutos leer
Los números complejos ofrecen una extensión interesante del sistema de números reales y tienen muchas aplicaciones en varias disciplinas de las matemáticas y la ciencia. Los números complejos pueden considerarse expresiones que contienen partes reales e imaginarias, generalmente escritas como la expresión a+bi , donde i representa la unidad imaginaria que satisface \( i^2 = -1 \). Los números complejos se inventaron por primera vez para resolver ecuaciones que no se pueden resolver utilizando solo números reales, como resolver ecuaciones como \( x^2 +1=0 \) . Hoy en día, los números complejos siguen siendo un componente integral de la teoría matemática moderna y las ciencias aplicadas; su origen se remonta a la Europa del siglo XVI y desempeñan un papel esencial en la ingeniería eléctrica, la dinámica de fluidos, la física cuántica, el procesamiento de señales, así como en aplicaciones de investigación teórica.
Definición básica de números complejos
Conceptos básicos de los números complejos
Números reales y números imaginarios
Los números reales representan cantidades a lo largo de una línea continua, como los números enteros, las fracciones y los números irracionales. Un número imaginario se diferencia en que, cuando se eleva al cuadrado, da como resultado raíces cuadradas negativas; esta unidad imaginaria fundamental se denota como "i", y su raíz cuadrada es igual a 1. Los números complejos combinan estos dos tipos de números para representar cantidades con componentes reales e imaginarios.
Componentes básicos de los números complejos y la unidad imaginaria (i)
Los números complejos constan de dos partes principales, la parte real y la parte imaginaria. Suelen representarse como \( a+bi \) , donde a es la componente real y bi es la parte imaginaria. Una unidad imaginaria llamada i , que cumple esta condición, permite que los números complejos extiendan el sistema de números reales al proporcionar soluciones a ecuaciones sin soluciones reales, como las relacionadas con la gravedad o los osciladores armónicos.
El componente real a de un plano complejo representa puntos en su eje horizontal; el componente imaginario bi denota puntos en su eje vertical. Juntos, estos componentes ofrecen un marco integral para describir cantidades que tienen magnitud y dirección, aplicable en todos los ámbitos científicos y de ingeniería.
La unidad imaginaria, a menudo denominada "i", es un concepto matemático esencial que se utiliza para expandir el sistema de números reales a números complejos. Se define por la propiedad \( i^2 = -1 \) que no tiene solución de número real y permite que existan números complejos como los expresados mediante a+bi donde ambos elementos a y b son números reales. Además, esta unidad simplifica mucho las ecuaciones de raíz cuadrada, lo que la hace vital para campos como la ingeniería, la física y el análisis complejo.
Como todos sabemos, 0 es un número real y los números reales pertenecen a los números complejos; por lo tanto, también puede considerarse un número complejo y representarse como 0+0i.
Módulo y valor absoluto
El módulo (o valor absoluto) de un número complejo se utiliza como una indicación de su magnitud en cualquier dirección en el plano complejo. Para un número complejo \( z=a+bi \), el módulo se denota como \[ \left| z \right| \] y se calcula utilizando la fórmula:
\[ \left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Este cálculo puede considerarse como la distancia euclidiana desde el punto (a,b) que representa z en el plano complejo hasta su origen (0,0).
Por ejemplo, considere el número complejo \( z=3+4i \). El módulo de z es:
\[ \left| z \right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Esto indica que \( z=3+4i \) al origen se encuentra cinco unidades en el plano complejo.
El concepto de módulo se puede utilizar en diversas aplicaciones, desde la ingeniería eléctrica y el análisis complejo hasta la ingeniería eléctrica y el análisis complejo. Proporciona una forma de cuantificar el tamaño de los números complejos y cumple un papel esencial en la representación polar (donde los números complejos se expresan en términos de su módulo y argumento (θ)).
En general, el módulo de un número complejo es un concepto invaluable que ayuda a comprender su significado tanto geométrico como físico, por lo que es un activo tanto en matemáticas teóricas como aplicadas.
Raíces complejas y raíces de unidad
Las raíces complejas amplían el concepto de raíces más allá de los números reales. Una raíz compleja de cualquier número se define como la solución de una ecuación en la forma \( z^n = k \) donde ambos términos son números complejos; las raíces de la unidad son casos especiales de tales raíces complejas, ya que satisfacen la ecuación \( z^n = 1 \) donde todos los números desde cero hasta n-1 son números complejos y están distribuidos uniformemente alrededor del círculo unitario en el plano complejo.
Propiedades de los números complejos
Conjugado de un número complejo, Teorema de la raíz conjugada compleja
La conjugación de números complejos implica cambiar el signo de su parte imaginaria mientras se mantiene intacta su parte real. Para un número complejo \( z=a+bi \), su conjugado se denota como \( \overline{z} \) y se da por: \( \overline{z} = a - bi \)
El conjugado de un número complejo lo refleja a través del eje real en el plano complejo, lo que proporciona una operación matemática útil para resolver ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y simplificar la división de números complejos. Por ejemplo, si z = 3 + 4i, entonces su conjugado es \( \overline{z}=3−4i \). Las propiedades del conjugado incluyen \( | \overline{z}|=z \) y \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \), que son fundamentales en la teoría de números complejos.
El teorema de la raíz conjugada compleja afirma que, para cualquier polinomio con coeficientes reales y una raíz compleja \( a+bi \), su conjugado complejo también debe ser una raíz. Esto garantiza que las raíces no reales de polinomios reales siempre se presenten en pares conjugados para preservar su carácter real.
Recíproco de un número complejo
El recíproco de un número complejo \( z=a+bi \) viene dado por \( \frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \). Esta fórmula emplea el conjugado para facilitar la división de números complejos estandarizando el denominador.
Ordenación de números complejos
Los números complejos no siguen un conjunto ordenado de reglas como los números reales; su estructura se basa en dos dimensiones del espacio en lugar de tres, por lo que no existe una forma definitiva de definir los números complejos como uno después del otro de manera clara.
Igualdad de números complejos
Dos números complejos \(a+bi\) y \(c+di\) se consideran iguales si sus partes reales y partes imaginarias son iguales, es decir si a=c y b=d respectivamente.
Otras propiedades
Los números complejos poseen muchas propiedades además de las mencionadas anteriormente, entre ellas, "todos los números reales son números complejos, pero no todos los números complejos son reales. Todos los números imaginarios son números complejos, pero no todos los números imaginarios son números complejos". Para diferenciar con precisión entre números complejos y números reales, es de vital importancia distinguirlos cuidadosamente.
Operaciones con números complejos
Suma de números complejos
La suma de números complejos se realiza sumando sus respectivas partes reales e imaginarias. Dados dos números complejos \( z_1 = a_1 + b_1 i \) y \( z_2 = a_2 + b_2 i \), su suma \( z = z_1 + z_2 \) se calcula como: \( z = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \).
Ley de Cierre
La suma de dos números complejos sigue siendo un número complejo. Si \( z_1 \) y \( z_2 \) son números complejos, entonces \( z = z_1 + z_2 \) también es un número complejo.
Ley conmutativa
La suma de números complejos es conmutativa, lo que significa que sumar dos números complejos produce resultados iguales: \( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \).
Derecho asociativo
La suma de números complejos es asociativa, por lo que \( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \) para cualquier número complejo \( z_1, z_2, z_3 \)
Elemento de identidad
El elemento identidad de la suma es 0 (que puede escribirse como 0+0i en forma compleja). Para cualquier número complejo \( z=a+bi \): \(z+0=z\).
Elemento inverso
La suma se puede ilustrar como la negación de números complejos. Para cualquier número complejo z=a+bi, la inversa es \( −z=−a−bi \). Por lo tanto: \( z+(−z)=0. \)
Operación de resta
La resta de números complejos se puede realizar de la misma manera que sumarlos, dividiendo primero sus componentes reales e imaginarios antes de restar. Para \( z_1 = a_1 + b_1 i \) y \( z_2 = a_2 + b_2 i \), la diferencia \( z = z_1 - z_2 \) es: \(z = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
Este método garantiza una operación de resta sencilla respetando las reglas aritméticas aplicables a los números reales.
Operación de multiplicación
La multiplicación de números complejos implica una mayor complejidad debido a sus unidades imaginarias. Al multiplicar dos números complejos \( z_1 = a_1 + b_1 i \) y \( z_2 = a_2 + b_2 i \) respectivamente, su producto \( z = z_1 z_2 \) se puede determinar utilizando la propiedad distributiva:
\[ z = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i \]
La clave es recordar que i^2 = -1 al combinar partes reales e imaginarias.
Operación de la División
Para dividir números complejos es necesario utilizar el conjugado. Para \( z_1 = a_1 + b_1 i \) y \(z_2 = a_2 + b_2 i \), el cociente \( z = \frac{z_1}{z_2} \) se obtiene multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador:
\[ z = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} = \frac{1}{a_2^2 + b_2^2} \left( (a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 + a_1 b_2)i \right) \]
Identidad para números complejos
Los números complejos utilizan ceros para la suma y unos para la multiplicación; por lo tanto, cualquier número complejo como z=a+bi se puede escribir como: \( z+0=z \) y \( 1=z \), con su valor original preservado. A continuación, se presentan seis identidades que se encuentran comúnmente al trabajar con números complejos y que los usuarios frecuentes deben memorizar:
\[ \begin{align*} (z_1 + z_2)^2 &= z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2 \\ (z_1 + z_2)^2 &= z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2 \\ z_1^2 - z_2^2 &= (z_1 + z_2)(z_1 - z_2) \\ (z_1 + z_2)^3 &= z_1^3 + 3z_1^2 z_2 + 3z_2^2 z_1 + z_2^3 \\ (z_1 - z_2)^3 &= z_1^3 - 3z_1^2 z_2 + 3z_2^2 z_1 - z_2^3 \\ (z_1 - z_2)^3 &= z_1^3 - 3z_1^2 z_2 + 3z_2^2 z_1 - z_2^3 \\ (z_1 + z_2 + z_3)^2 &= z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2z_1z_2 + 2z_1z_3 + 2z_2z_3 \end{align*} \]
Representación geométrica de números complejos
¿Qué es el plano complejo?
El plano complejo, también conocido como plano de Argand, es un diagrama bidimensional en el que se pueden representar gráficamente números complejos. El eje horizontal representa la parte real, mientras que el vertical ilustra la parte imaginaria; para un número complejo \( z =a+bi \) aparecería como el punto \( (a,b) \). Esta representación geométrica permite a los usuarios visualizar números complejos y sus operaciones con mayor facilidad, mejorando así la comprensión y el análisis.
Argumento de un número complejo
Un argumento de un número complejo se utiliza para medir el ángulo entre su línea de representación en el carril complejo y el eje real positivo de ese número. Se denota como \( \arg(z) \) o \( \theta \) y da la dirección del número complejo desde el origen.
Para un número complejo z=a+bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria, el argumento \( \theta \) es el ángulo entre el eje real positivo y el segmento de línea que une el origen y el punto \( (a,b) \) en el plano complejo.
El argumento \( \theta \) se puede calcular utilizando la función arcotangente:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right) \]
Sin embargo, se debe tener cuidado para determinar el cuadrante correcto del ángulo, ya que la función arcotangente solo devuelve valores entre \( -\frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad \frac{\pi}{2} \).
\[ \begin{cases} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) & \text{if } a > 0 \text{ and } b \geq 0 \\ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + \pi & \text{if } a < 0 \\ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + \pi & \text{if } a < 0 \\ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + 2\pi & \text{if } a > 0 \text{ and } b < 0 \\ \theta = \frac{\pi}{2} & \text{if } a = 0 \text{ and } b > 0 \\ \theta = -\frac{\pi}{2} & \text{if } a = 0 \text{ and } b < 0 \end{cases} \]
Consideremos el número complejo \( z = 1 + \sqrt{3}i \). Para hallar el argumento \( \theta \):
\[ \begin{align*} z &= 1 + \sqrt{3}i \\ |z| &= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) = \tan^{-1} (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \end{align*} \]
Representación polar de números complejos
La representación polar expresa números complejos mediante su módulo y argumento. En lugar de escribir números complejos como "z" como una ecuación de la siguiente manera:
\( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \)，donde \( r =∣z∣ \) es el módulo y \( \theta = \arg(z) \) es el argumento. Por ejemplo, \( z=1+i \) se puede representar como \( \sqrt{2} \left( \cos 4\pi + i \sin 4\pi \right) \)
Aplicación de coordenadas de puntos rotatorios
La rotación de puntos en el plano complejo con números complejos es sencilla debido a su representación polar. Un número complejo como \( z = e^{i\varphi} \). se puede escribir en dos formas polares: una que representa su módulo (o magnitud) mientras que la otra representa su argumento (o ángulo).
Para rotar un número complejo z en un ángulo \( \varphi \), multiplica z por \( e^{i\varphi} \). Esta operación da como resultado un nuevo número complejo \( z' = z \cdot e^{i\varphi} = re^{i\theta} \cdot e^{i\varphi} = re^{i(\theta + \varphi)} \)
El módulo permanece constante en r, mientras que el argumento se convierte en \( (\theta + \varphi) \)，rotando efectivamente un punto en ph radianes en el plano complejo.
Consideremos el número complejo \( z=1+i \), que tiene un módulo \( r = \sqrt{2} \) y un argumento \( \theta = 4\pi \). Para rotar z en \( 2\pi \) radianes:
\[ z' = \sqrt{2} e^{i4\pi} \cdot e^{i2\pi} = \sqrt{2} e^{i(4\pi + 2\pi)} = \sqrt{2} e^{i6\pi} \]
Convirtiendo nuevamente a forma rectangular:
\[ z' = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i \]
Conocimientos complementarios de números complejos
Fórmula de Euler
La fórmula de Euler proporciona un puente increíble entre el análisis complejo y la trigonometría, expresada como \( :e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)
Esta elegante ecuación sirve como base para la representación polar de números complejos. Si se elige el ángulo \( \theta = \pi \) como valor variable para esta fórmula, aparece \( e^{i\pi} + 1 = 0 \), unificando constantes fundamentales de distintos campos matemáticos en un único valor de identidad.
La fórmula de Euler afirma que la exponenciación compleja con un exponente imaginario puede expresarse utilizando funciones trigonométricas, lo que la convierte en una herramienta invaluable para simplificar expresiones de números complejos y tiene aplicaciones de largo alcance en matemáticas e ingeniería.
Procesamiento de señales: la fórmula de Euler se puede utilizar para representar señales sinusoidales como exponenciales complejos, simplificando el análisis y la manipulación en el dominio de la frecuencia. Ingeniería eléctrica: la fórmula de Euler juega un papel esencial en el análisis de circuitos de CA, donde el voltaje y la corriente se pueden representar como fasores utilizando la fórmula de Euler. Mecánica cuántica: la fórmula de Euler sirve para describir funciones de onda y estados cuánticos que a menudo toman la forma de exponenciales complejos.
Sistemas de control: Ayuda en el diseño y análisis de sistemas de control simplificando las representaciones del comportamiento oscilatorio y los bucles de retroalimentación.
Rotaciones en el plano complejo: La fórmula de Euler se puede utilizar para realizar rotaciones y transformaciones en planos complejos, lo que la convierte en una herramienta indispensable en campos como los gráficos por computadora y la robótica.
Teorema de De Moivre
El teorema de De Moivre extiende el concepto de potencias y raíces a los números complejos. Afirma que para cualquier entero \( n \) y un número complejo \( z = re^{i\theta} \), se cumple lo siguiente:
\[ z^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta). \]
Simplifica los cálculos que involucran potencias y raíces de números complejos, lo que lo hace esencial para resolver ecuaciones polinómicas y analizar funciones periódicas.
Además, este teorema tiene aplicaciones en el procesamiento de señales, la ingeniería eléctrica y la mecánica cuántica para describir formas de onda y oscilaciones, así como para derivar identidades trigonométricas y simplificar fórmulas de ángulos múltiples en matemáticas.
Números enteros gaussianos
Los números enteros gaussianos son números complejos con componentes reales e imaginarios expresados como números enteros, generalmente expresados en la forma a+bi, donde ambos componentes son números enteros. Estos números forman una cuadrícula similar a una matriz en el plano complejo y forman parte del conjunto de números complejos; sus propiedades de factorización únicas les permiten tener muchas aplicaciones dentro de la teoría de números, como la resolución de ecuaciones polinómicas con soluciones enteras o el estudio de propiedades de factorización únicas dentro de todos los números complejos.
Conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot es una colección de números complejos que produce un grupo fractal cuando se itera a través de una ecuación cuadrática particular \( z_{n+1} = z_n^2 + c \). Este subconjunto del plano complejo presenta un límite intrincado que exhibe autosimilitud en varias escalas, lo que lo hace ideal para el estudio en el marco de la teoría del caos y la geometría fractal.
Aplicaciones de los números complejos en la física
Análisis de circuitos
Los números complejos se utilizan ampliamente en ingeniería eléctrica para modelar la impedancia. La impedancia representa la resistencia y la reactancia en circuitos de CA. La impedancia \( Z \) se expresa como \( Z = R+iX \), donde \( R \) es la resistencia y \( X \) la reactancia, lo que facilita el análisis del comportamiento del circuito.
Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple (MAS) es un tipo de movimiento periódico en el que la fuerza que restaura un objeto se corresponde directamente con su desplazamiento desde el equilibrio, actuando en la dirección opuesta a ese desplazamiento. Este tipo de movimiento periódico se distingue por sus patrones sinusoidales tanto en el desplazamiento como en la velocidad/aceleración a lo largo del tiempo.
En el MAS, un objeto oscila de un lado a otro alrededor de una posición de equilibrio. El movimiento se produce de tal manera que la aceleración del objeto a(t) es proporcional a su desplazamiento x (t) por un factor constante \(-\omega^2 \), donde \( \omega \) es la frecuencia angular: \( a(t) = -\omega^2 x(t) \)
Dado esto, el desplazamiento \( x(t) \) en función del tiempo t se puede describir mediante:
\( x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \)，donde A es la amplitud de movimiento,\( \omega \) es la frecuencia angular y \( \varphi \) es la constante de fase.
El SHM se puede ver en pequeñas oscilaciones de un péndulo, donde su fuerza restauradora es la gravedad que actúa a lo largo de su arco; cuando la masa unida a un resorte se desaloja del equilibrio y se libera, también experimenta SHM; además, las vibraciones dentro de las moléculas a menudo se aproximan al movimiento armónico simple, lo que proporciona conocimientos clave sobre la termodinámica y la mecánica cuántica.
Mecánica cuántica
La ecuación de Schrödinger, un componente esencial de la mecánica cuántica, utiliza funciones de onda complejas \( \psi(x, t) \) para describir el estado cuántico de las partículas. Estas funciones de onda representan probabilidades y, al mismo tiempo, muestran comportamientos complejos influenciados por campos de potencial, lo que pone de relieve la importancia fundamental que tienen los números complejos en los sistemas cuánticos.
Procesamiento de señales
El procesamiento de señales implica analizar, alterar y sintetizar señales para extraer información útil u optimizar la transmisión y el almacenamiento. La manipulación de señales emplea técnicas matemáticas para manipular audio, video, datos de sensores o cualquier otro formato. Por ejemplo, en el procesamiento de audio se emplean técnicas de procesamiento de señales para mejorar la calidad del sonido en la música y el habla, haciéndolos más claros y agradables. Las técnicas de procesamiento de imágenes utilizan cámaras digitales y teléfonos inteligentes para mejorar y comprimir imágenes para un almacenamiento más fácil, lo que da como resultado fotografías de mayor calidad con requisitos de almacenamiento y uso de ancho de banda reducidos. Mientras tanto, el procesamiento de señales garantiza una transmisión eficiente de datos a través de redes al tiempo que disminuye los errores y el uso del ancho de banda. Los ingenieros biomédicos utilizan el procesamiento de señales para analizar señales de ECG o MRI para diagnósticos médicos, ayudando a los médicos en la atención al paciente. Además, los sistemas de radar y sonar emplean el procesamiento de señales para detectar e interpretar señales para navegación y uso militar, lo que aumenta la precisión y la confiabilidad al mismo tiempo que mejora la precisión y la confiabilidad.
Función compleja
Las funciones complejas son funciones matemáticas que convierten números complejos en números complejos. Más específicamente, si z es un número complejo tal que su valor es igual a \( x +yi \) donde x e y son números reales, entonces su función compleja \( f(z) \) se puede expresar en términos de esta fórmula: \( F(z) = u(x,y) + iv(x,y) \), donde ambas funciones de dos variables reales (u y v respectivamente) tienen valores reales.
Las funciones complejas extienden el concepto de funciones al dominio complejo, ofreciendo estructuras y comportamientos más intrincados que las funciones reales. Heredan muchas propiedades fundamentales asociadas con los números complejos (incluidas la suma, la multiplicación y la representación en el plano complejo), lo que las convierte en ideales para operaciones y transformaciones en diversos contextos matemáticos o aplicados.
La diferenciabilidad es una de las características de las funciones complejas. Si una función \( f(z) \) cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann (dos ecuaciones diferenciales parciales diseñadas para garantizar su holomorficidad en cada punto de su dominio), entonces se considera diferenciable en el plano complejo.
Las funciones complejas con soluciones diferenciables en todas partes dentro de su dominio son fundamentales para el análisis complejo y ofrecen propiedades poderosas, como la de poder representarse como series de potencias.
Ejemplos relacionados
Cálculos que involucran la parte imaginaria "i" y el cálculo de la magnitud
Para calcular la magnitud y las partes imaginarias de un número complejo \( z=3+4i \), el módulo es:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
La parte imaginaria es directamente 4i, lo que hace que estas operaciones sean esenciales para comprender las propiedades de los números complejos y sus equivalentes geométricos en el plano complejo.
Cálculos de suma, resta, multiplicación y división
Suma
Problema : Sumar los números complejos \( z_1 = 3 + 4i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 2i \)
Solución :
Paso 1: Identifica las partes reales e imaginarias de cada número complejo.
\[ z_1 = 3 + 4i \quad \text{and} \quad z_2 = 1 + 2i \]
Paso 2: Suma las partes reales. \( 3+1=4 \)
Paso 3: Suma las partes imaginarias. \( 4i+2i=6i \)
Paso 4: Combina los resultados. \( z_1 + z_2 = 4 + 6i \)
Respuesta : \( 4+6i \)
Sustracción
Problema : Restar el número complejo \( z_2 = 1 + 2i \quad \text{de} \quad z_1 = 3 + 4i \)
Solución :
Paso 1: Identifica las partes reales e imaginarias de cada número complejo.
\[ z_1 = 3 + 4i \quad \text{and} \quad z_2 = 1 + 2i \]
Paso 2: Resta las partes reales. \( 3−1=2 \)
Paso 3: Resta las partes imaginarias. \( 4i−2i=2i \)
Paso 4: Combina los resultados. \( z_1 - z_2 = 2 + 2i \)
Respuesta : \( 2+2i \)
Multiplicación
Problema : Multiplica los números complejos \( z_1 = 2 + 3i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 4i \)
Solución :
Paso 1: Utilice la propiedad distributiva (método FOIL) para expandir \( (2+3i )(1+4i ) \).
\[ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i \]
Paso 2: Realiza la multiplicación para cada término.
\[2 \cdot 1 = 2\]
\[2 \cdot 4i = 8i\]
\[3i \cdot 1 = 3i\]
\[3i \cdot 4i = 12i^2\]
Paso 3: Recuerda que \( i^2 = -1 \) y combina los términos semejantes. \( 2+8i+3i+12(−1)=2+11i−12 \)
Paso 4: Simplifica la expresión. \( 2−12+11i=−10+11i \)
Respuesta : \( −10+11i \)
División
Problema : Dividir el número complejo
\[z_1 = 2 + 3i\]
por
\[z_2 = 1 + 4i\]
Solución :
Paso 1: Escribe la división como una fracción.
\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 3i}{1 + 4i}\]
Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
\[\frac{2 + 3i}{1 + 4i} = \frac{(2 + 3i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)}\]
Paso 3: Utilizar la propiedad distributiva para simplificar. Numerador:
\[(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 4i = 2 - 8i + 3i - 12i^2\]
\[2 - 8i + 3i + 12 = 14 - 5i\]
Denominador:
\[(1 + 4i)(1 - 4i) = 1 \cdot 1 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17\]
Paso 4: Simplifica la fracción.
\[\frac{14 - 5i}{17} = \frac{14}{17} - \frac{5i}{17}\]
Respuesta :
\[\frac{14}{17} - \frac{5i}{17}\]