¿Quién inventó el cálculo? Newton vs. Leibniz y la historia del cálculo
Explora el fascinante debate entre Newton y Leibniz sobre la invención del cálculo. Conoce su historia, conceptos clave (límites, derivadas, integrales) y aplicaciones.
Isaac Turner
Dec 19, 2024 14 minutos leer
¿Existe el cálculo y quién lo inventó? El debate sobre su inventor ha intrigado durante mucho tiempo a los historiadores de las matemáticas; hoy en día, el cálculo proporciona herramientas poderosas que hacen que la física, la ingeniería o la economía modernas sean manejables. El estudio matemático del cambio continuo que realiza el cálculo es la base de muchas innovaciones tecnológicas y científicas que hoy damos por sentadas y nos permite modelar fenómenos que van desde el movimiento de los planetas y el crecimiento de la población hasta el comportamiento del mercado en los mercados financieros. Afortunadamente, el cálculo existe, pero su creador exacto sigue siendo objeto de controversia entre los historiadores de las matemáticas; sigue siendo controvertido entre algunos, y los historiadores han debatido durante mucho tiempo quién lo inventó; entre los historiadores de las matemáticas, parece haber controversia a medida que los historiadores discuten sus orígenes, como ha habido controversia durante siglos, si es que hubo alguna controversia.
Introducción al cálculo
Definiciones básicas
El cálculo es un área de las matemáticas que se ocupa de los límites, las funciones, las derivadas, las integrales y las series infinitas. Tiene dos ramas principales: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El cálculo diferencial trata las derivadas como tasas de cambio, mientras que el cálculo integral implica la acumulación; mientras que el cálculo derivado trata más específicamente de las diferenciales o derivadas de cantidades, el cálculo integral trata en cambio de la acumulación.
Conceptos clave
Limits
El concepto de límite es fundamental en el cálculo y ayuda a comprender el comportamiento de las funciones a medida que se acercan a puntos específicos. Un límite describe el valor al que se acerca una función cuando la entrada (o variable) se acerca a algún valor. Por ejemplo, si tenemos una función \( f(x) \), el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se acerca a un valor particular \( a \) es el valor al que \( f(x) \) se acerca a medida que \( x \) se acerca a \( a \). Esto se escribe como:
\[ \lim_{{x \to a}} f(x) = L \]
donde \( L \) es el límite. Los límites son cruciales para definir tanto derivadas como integrales y se utilizan para manejar casos en los que las funciones no se comportan correctamente, como cuando tienen discontinuidades o no están definidas en ciertos puntos.
Derivados
Las derivadas miden cómo cambia una función a medida que cambia su valor de entrada. Representan la tasa de cambio de una cantidad. Formalmente, la derivada de una función \( f(x) \) en un punto \( x = a \) se define como el límite:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a+h) - f(a)}}{h} \]
Esta expresión da la pendiente de la recta tangente a la función en el punto \(x = a \). Las derivadas tienen aplicaciones generalizadas en diversos campos, como la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, en física, la derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es su velocidad, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración. Las derivadas ayudan a comprender y predecir cómo evolucionan los sistemas a lo largo del tiempo.
Integrales
Las integrales se utilizan para calcular la acumulación total de una cantidad. La integral de una función en un intervalo da el área bajo la curva de la función en ese intervalo. La integral definida de una función \( f(x) \) desde \( a \) hasta \( b \) se escribe como:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Esto representa el área neta bajo la curva \( f(x) \) desde \( x = a \) hasta \( x = b \). Las integrales se utilizan en numerosas situaciones prácticas para calcular áreas, volúmenes y cantidades de energía en la ciencia. Las integrales tienen sus raíces en el Teorema Fundamental del cálculo, que vincula las integrales con las derivadas, de modo que la integración puede invertirse por diferenciación o viceversa.
También puedes encontrar problemas de aplicación de estos conceptos en el Banco de Estudios de UpStudy.
Contenido principal
Preguntas de investigación primarias
El cálculo explora cómo cambian y se acumulan las funciones a lo largo del tiempo y el espacio. El cálculo diferencial examina cuestiones de tasa de cambio mediante el estudio de derivadas que rastrean cómo varían las cantidades a lo largo del tiempo o el espacio; el cálculo integral se ocupa de la acumulación midiendo áreas bajo curvas, cantidades totales y valores de acumulación mediante integrales; los investigadores también pueden investigar propiedades y comportamientos de funciones, así como series de convergencia o soluciones a ecuaciones diferenciales; esta investigación forma la base para modelar problemas del mundo real que se encuentran en campos como la física, la ingeniería, la economía, etc.
Teoremas clave
Reglas de diferenciación
Las reglas de diferenciación son herramientas esenciales para hallar la derivada de una función. Algunas reglas clave son:
1. Regla de potencia: Si \( f(x) = x^n \), entonces \( f'(x) = nx^{n-1} \).
2. Regla del producto: Si \( f(x) = u(x)v(x) \), entonces \( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \).
3. Regla del cociente: Si \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), entonces \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \).
4. Regla de la cadena: Si \( f(x) = g(h(x)) \), entonces \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \).
Los cálculos de la regla de cadena pueden ayudarnos a encontrar fácil y rápidamente la derivada de funciones complejas dividiéndolas en partes más simples y encontrando su derivada.
Si quieres practicar esto, explora la calculadora de derivadas de UpStudy.
Teorema del valor medio
El teorema del valor medio (TVM) es un resultado fundamental del cálculo que proporciona un puente formal entre las derivadas y las integrales. Existen varias formas del TVM, pero dos de las más importantes son:
Teorema del valor medio de Lagrange
El MVT de Lagrange establece que para una función continua \( f \) en el intervalo cerrado \([a, b]\) y diferenciable en el intervalo abierto \((a, b)\), existe al menos un punto \( c \in (a, b) \) donde:
\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Esto significa que hay al menos un punto donde la tasa de cambio instantánea (la derivada) es igual a la tasa de cambio promedio en el intervalo.
Teorema del valor medio de Cauchy
El TVM de Cauchy generaliza el TVM de Lagrange. Para dos funciones \( f \) y \( g \) que son continuas en \([a, b]\) y diferenciables en \((a, b)\), existe al menos un punto \( c \in (a, b) \) donde:
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \]
Este teorema es útil en diversas aplicaciones, incluida la prueba de la regla de L'Hôpital.
Ambos teoremas juegan un papel indispensable en la comprensión de cómo se comportan las funciones y desempeñan un papel esencial en el análisis matemático y sus aplicaciones.
Teorema fundamental del cálculo
El Teorema Fundamental del Cálculo es una afirmación emblemática del cálculo que destaca que la diferenciación y la integración son procesos fundamentalmente opuestos. El teorema tiene dos partes principales:
1. Primera parte: Esta parte establece que si \( f \) es una función continua en el intervalo \([a, b]\) y \( F \) es una antiderivada de \( f \) en \([a, b]\), entonces:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
Esto significa que la integral definida de \( f \) desde \( a \) hasta \( b \) es igual a la diferencia de los valores de su antiderivada en los puntos finales del intervalo.
2. Segunda Parte: Esta parte establece que si \( F \) está definida por:
\[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \]
para \( x \) en \([a, b]\), y \( f \) es continua, entonces \( F \) es diferenciable en \((a, b)\), y su derivada es \( f \):
\[ F'(x) = f(x) \]
Esto significa que la derivada de la función integral \( F \) es la función original \( f \).
En conjunto, estas partes forman un vínculo inextricable entre la diferenciación y la integración, simplificando significativamente el cálculo de integrales definidas y al mismo tiempo ofreciendo herramientas poderosas para resolver una variedad de problemas matemáticos y de ciencias aplicadas.
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Antecedentes históricos de la creación del cálculo
Precursores antiguos
Antiguo Egipto
Los matemáticos del antiguo Egipto utilizaban formas sencillas de cálculo para resolver problemas relacionados con el área y el volumen. Los matemáticos egipcios idearon métodos para aproximar el área circular y la estimación del volumen. Sus esfuerzos sentaron las bases para los desarrollos posteriores del cálculo integral.
Grecia antigua
Matemáticos griegos como Eudoxo y Arquímedes hicieron contribuciones significativas al desarrollo temprano del cálculo. Eudoxo propuso la teoría de agotamiento (precursora de la teoría de límites) para hallar áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes utilizó el análisis de agotamiento para calcular tanto áreas bajo parábolas como volúmenes de esferas utilizando el método de agotamiento, convirtiéndose en uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad.
Porcelana
Liu Hui y Zu Chongzhi, de la antigua China, hicieron avances importantes que presagiaron el cálculo. Liu utilizó un método similar al de la extenuación al calcular áreas de círculos, mientras que Zu aproximó el valor de pi con notable precisión; ambas contribuciones demuestran aspectos globales del desarrollo matemático temprano.
Edad media
Oriente Medio
Los matemáticos islámicos de la Edad Media preservaron y ampliaron el conocimiento de la Antigua Grecia a través de matemáticos islámicos como Al-Khwarizmi, Omar Khayyam, los estudios de óptica y luz de Alhazen. Eruditos como estos hicieron contribuciones significativas en álgebra, geometría y cálculo que luego inspiraron su desarrollo, ¡y finalmente dieron paso al cálculo mismo! Los estudios de óptica de Alhazen sentaron una base sólida para la investigación de la física matemática moderna.
India
Los matemáticos indios hicieron importantes contribuciones al desarrollo del cálculo. Aryabhata y Bhaskara II trabajaron en problemas relacionados con los infinitesimales mientras creaban las primeras formas de cálculo diferencial, mientras que Madhava, de Sangamagrama, en Kerala, desarrolló desarrollos en serie para funciones trigonométricas, un trabajo que anticipó los desarrollos matemáticos europeos posteriores.
La controversia
Proceso de invención
El proceso de invención de Newton
Isaac Newton ideó por primera vez su versión del cálculo, conocida como "el método de fluxiones", durante la década de 1660. El trabajo de Newton sobre el cálculo estaba profundamente entrelazado con su investigación del movimiento y el cambio; particularmente en lo que se refiere a las órbitas de los planetas o al comportamiento de los cuerpos físicos. Newton popularizó el término "fluxión", o la tasa instantánea de cambio de cualquier cantidad instantáneamente en el tiempo; hoy entendemos que este término representa las derivadas.
Además, Newton ideó otra idea llamada "fluxión inversa", similar a nuestra comprensión de una integral. Sentó las bases de la mecánica clásica al emplear estos conceptos para formular las leyes del movimiento y la gravitación universal. Si bien Newton no publicó inmediatamente sus hallazgos, sus cuadernos y manuscritos de este período muestran los primeros desarrollos del cálculo que ayudaron a resolver problemas tanto en física como en astronomía.
El proceso de invención de Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz, matemático y filósofo alemán, desarrolló el cálculo de forma independiente a finales de la década de 1670. Su trabajo se diferenciaba del de Isaac Newton, tanto en su planteamiento como en su notación. La versión de Leibniz del cálculo, conocida como "calculus differentiationis" y "calculus integralis", introdujo los símbolos integral y diferencial (\(\int\) y \(d\)), que todavía se utilizan en la actualidad.
Leibniz adoptó un enfoque más sistemático y formalizado que el de Newton. Se centró en la manipulación de infinitesimales, lo que le llevó a desarrollar reglas de diferenciación e integración más intuitivas y más sencillas de aplicar para los matemáticos. La notación y los métodos de Leibniz tuvieron un enorme efecto en los futuros desarrollos del cálculo, ya que hicieron que el cálculo fuera más accesible y accesible para los matemáticos por igual.
Leibniz sentó las bases para el desarrollo formal del cálculo como disciplina matemática, aunque sus contribuciones siguen siendo controvertidas en la actualidad. Los historiadores modernos reconocen su importancia para el desarrollo de las matemáticas; incluso hoy su notación sigue siendo la estándar en campos como el cálculo.
Surgimiento de conflictos
Comienzo
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz comenzaron a enfrentarse por la invención del cálculo a finales del siglo XVII en Inglaterra. Aunque ambos matemáticos crearon el cálculo de forma independiente, pero con metodologías y notaciones diferentes, la controversia comenzó entre los dos cuando Newton acusó a Leibniz de plagiar un trabajo inédito después de que Leibniz publicara hallazgos que parecían similares. Los sentimientos nacionalistas complicaron aún más las cosas entre los matemáticos ingleses que apoyaban a Newton y los europeos continentales que apoyaban a Leibniz; la Royal Society dirigida por Newton publicó un informe acusando a Leibniz de robo intelectual, lo que obstaculizaba la colaboración entre matemáticos, lo que ralentizaba significativamente el progreso de la investigación matemática.
Evidencia respectiva
La evidencia de Newton
Isaac Newton creó su versión del cálculo, conocida como el "método de fluxiones", a mediados de la década de 1660. Para respaldar su afirmación, Newton produjo manuscritos y cuadernos tempranos que describían sus ideas sobre el cálculo; estos documentos datan de la década de 1660 y estaban llenos de relatos detallados sobre cómo encontrar tangentes y áreas, aspectos esenciales del cálculo diferencial e integral; para ilustrar su afirmación, sus partidarios señalaron sus primeros trabajos inéditos como prueba de que Newton inventó el cálculo primero, mientras que la correspondencia de otros matemáticos como John Wallis también proporcionaba pruebas.
La evidencia de Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló su versión del cálculo de forma independiente entre 1677 y 1680. Leibniz proporcionó evidencia de esta afirmación a través de artículos publicados como su artículo de 1684 titulado "Nova Methodus pro Maximis et Minimis". En él introdujo el cálculo diferencial; más tarde ese año (1686) Leibniz publicó otro artículo que profundizaba más en el cálculo integral. La notación de Leibniz, incluidos los símbolos \( \int \) para integrales y \( d \) para diferenciales, fue ampliamente adoptada y sigue utilizándose en la actualidad. Los partidarios de Leibniz destacaron su enfoque sistemático y formalizado del cálculo. Sus afirmaciones se basaban en las obras publicadas de Leibniz que proporcionaban métodos claros para realizar operaciones de cálculo.
Tanto Newton como Leibniz ofrecieron evidencia convincente que respaldaba sus afirmaciones de descubrimiento independiente del cálculo, lo que condujo a un debate extenso y polémico sobre quién exactamente inventó el cálculo.
Los ataques de Newton a Leibniz
El conflicto se intensificó cuando Newton acusó a Leibniz de plagio. Newton dirigió su Royal Society de Londres, publicando en 1712 lo que se conocería como "Commercium Epistolicum", acusando a Leibniz de plagiar ideas de manuscritos inéditos de Newton que, según Leibniz, habían sido robados. Leibniz respondió que sus conceptos habían evolucionado de forma independiente a pesar de que ambas partes se enzarzaron en ataques personales y debates públicos sobre esta disputa. La disputa acabó por volverse extremadamente desagradable entre todos los implicados, y se convirtió en ataques personales entre científicos individuales, así como en debates públicos entre expertos de distintas disciplinas, hasta que todos los implicados llegaron a un consenso entre los académicos sobre diversos temas en 1712.
Conclusiones
Resultado contemporáneo
A lo largo de sus vidas, el desacuerdo sobre quién inventó el cálculo quedó sin resolver. Tanto Newton como Leibniz continuaron desarrollando diferentes versiones del mismo, mientras que sus seguidores se dividían sobre qué método prevalecería. Tal desacuerdo obstaculizó la colaboración y la comunicación entre matemáticos de diferentes países y, en última instancia, obstaculizó el progreso de la investigación matemática.
Conclusiones modernas
Los historiadores modernos de las matemáticas generalmente reconocen que Newton y Leibniz crearon el cálculo de forma independiente, aunque sus enfoques y notaciones a menudo divergían significativamente. Hoy en día, se reconoce ampliamente que el cálculo fue creado en conjunto; ambos hombres son honrados por sus contribuciones pioneras.
Reconocimiento global de Newton y Leibniz
Características distintivas de las teorías de Newton y Leibniz
El cálculo de Newton era de naturaleza más geométrica y se centraba en las fluxiones para describir los cambios en las cantidades, mientras que el de Leibniz se centraba más analíticamente en la manipulación de los infinitesimales. Sus diferentes estilos tuvieron profundas influencias en las ramas matemáticas posteriores, así como en sus aplicaciones.
Evaluación de sus contribuciones
Tanto Newton como Leibniz hicieron importantes contribuciones al cálculo y a las matemáticas en general. Newton sentó las bases de la mecánica clásica y los estudios del movimiento, mientras que Leibniz proporcionó herramientas de notación y formalismo para impulsar el desarrollo matemático. Su trabajo combinado tuvo profundas ramificaciones en el desarrollo de la ciencia, la ingeniería y la tecnología.
Importancia del cálculo
Importancia en la teoría matemática
El cálculo ha transformado la teoría matemática al ofrecer un marco para comprender el cambio continuo y permitir a los matemáticos crear nuevas teorías o resolver problemas insolubles con mayor facilidad que antes. Los conceptos de cálculo como límites, derivadas e integrales forman el núcleo de muchas áreas de las matemáticas, incluido el análisis, las ecuaciones diferenciales y la topología, además de tener influencias significativas sobre otras ramas como el análisis complejo o el análisis funcional.
Aplicaciones en otros campos
Física
El cálculo es esencial en las ciencias físicas para modelar y comprender los sistemas físicos, desde el modelado del movimiento, las fuerzas y los flujos de energía hasta la resolución de ecuaciones diferenciales que rigen fenómenos físicos como el electromagnetismo, la termodinámica, la mecánica cuántica o la relatividad general. Desempeña un papel fundamental en estudios como el electromagnetismo, la termodinámica, la mecánica cuántica y la relatividad general, entre otros.
Medicamento
El cálculo puede desempeñar un papel inestimable en la medicina, en particular en el modelado y análisis de sistemas biológicos y datos médicos. El cálculo se ha utilizado durante mucho tiempo como una forma eficaz de simular sistemas biológicos, como la propagación de enfermedades o el crecimiento exponencial de poblaciones a lo largo del tiempo, y para simular el comportamiento de sistemas fisiológicos, como los que se utilizan en las exploraciones por resonancia magnética o tomografía computarizada para reconstruir imágenes a partir de conjuntos de datos sin procesar.
Ciencias económicas
El cálculo se utiliza ampliamente en economía para modelar y analizar sistemas dinámicos como el comportamiento del mercado o la expansión económica, calcular costos marginales e ingresos, optimizar la programación de la producción y el consumo y hacer un seguimiento de los agentes a lo largo del tiempo, así como para comprender sus cambios de comportamiento a lo largo del tiempo. El cálculo también desempeña un papel central en la econometría para analizar e interpretar conjuntos de datos económicos.