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Álgebra Cálculo Trigonometría Matriz

Ejemplo

(6+3i)(5-6i)=

Conocimiento sobre números complejos

1.
¿Qué son los números complejos?

Los números regulares pueden manejar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Pero, ¿qué pasa si necesitas encontrar la raíz cuadrada de un número negativo (como \sqrt{-9} )? ¡Ingrese números complejos! Entonces, los números complejos son un poco como los primos más aventureros de los números reales que usamos todos los días. Incluyen una parte real y una parte imaginaria. La parte imaginaria tiene algo que ver con la raíz cuadrada de -1, que en los números reales no existe. Entonces, un número complejo se ve así: a + bi, donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria.
2.
¿Cómo dividir números complejos?
Dividir números complejos puede parecer complicado, pero en realidad es bastante sencillo una vez que lo dominas:
1. Escribe la división como una fracción: \frac{a+bi}{c+di} .
2. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: El conjugado de c+di es c-di.
3. Aplicar la propiedad distributiva: (también conocida como método FOIL para binomios) tanto en el numerador como en el denominador.
4. Simplificar: use la identidad i^2 = -1 para simplificar el denominador a un número real y simplifique el numerador en consecuencia.
5. Separe las partes real e imaginaria: una vez simplificado, debería terminar con una forma como \frac{e+fi}{g} , que luego puede escribir como \frac{e}{g} + \frac{f}{ g}i .
3.
¿Qué es i en números complejos?

En números complejos, i es el símbolo utilizado para representar la raíz cuadrada de -1. Se llama unidad imaginaria y es lo que nos permite extender los números reales a más dimensiones. Básicamente, sin i, no podríamos tener números complejos porque no podríamos manejar la raíz cuadrada de un número negativo en la aritmética estándar de números reales.
4.
¿Cómo multiplicar números complejos?
La multiplicación de números complejos puede implicar un amigo familiar: FOIL (Primero, Exterior, Interior, Último). Usamos este método para multiplicar las partes real e imaginaria por separado:
1. Multiplica cada parte: si tienes dos números complejos, digamos (a+bi) y (c+di), multiplícalos así: ac + adi + bci + bdi^2 .
2. Recuerde que i^2 = -1 : esto convierte bdi^2 en -bd .
3. Combine los términos: entonces, todo se simplifica a (ac-bd) + (ad+bc)i.
5.
¿Cómo sumar números complejos?
Sumar números complejos es muy fácil:
1. Simplemente agregue partes similares: sume las partes reales y las imaginarias.
2. Combínalos: si (a+bi) y (c+di) son tus números complejos, simplemente calcula (a+c) + (b+d)i.
6.
Aplicaciones del mundo real de números complejos
Los números complejos pueden parecer puramente teóricos, pero en realidad son muy útiles:
- Ingeniería Eléctrica: En lo que respecta a la ingeniería eléctrica, los números complejos son la piedra angular del estudio de los circuitos de corriente alterna (CA). Estos ayudan enormemente a facilitar los cálculos de corriente, voltaje e impedancia en un formato que puede permitir tener en cuenta tanto la magnitud como los ángulos de fase, mediante el uso del concepto de fasores.
- Dinámica de fluidos: los números complejos permiten modelar un flujo potencial de fluido. Las aplicaciones en aerodinámica e hidrodinámica son importantes, especialmente cuando se debe predecir el patrón de flujo de aire de un objeto y se debe optimizar el flujo de agua dentro de una tubería para el diseño.
- Física Cuántica: Los números complejos juegan un papel muy importante en la mecánica cuántica para la descripción de funciones de onda de sistemas cuánticos ya que las probabilidades de encontrar una partícula en algunos estados se derivan del módulo al cuadrado de estas funciones de onda complejas. Por eso los números complejos están profundamente entrelazados en la teoría cuántica.
- Gráficos: Los números complejos, en gráficos por computadora, facilitan todas las manipulaciones matemáticas que se usarían para realizar transformaciones, como rotaciones y escalas. También representan rotaciones bidimensionales de manera muy efectiva, lo que permite una manipulación más sencilla en una aplicación de software de renderizado y animación.
7.
Datos curiosos sobre los números complejos: ¡más que imaginarios!
- Alguna vez fueron controvertidos: cuando se introdujeron los números complejos, fueron recibidos con escepticismo y aversión. Desde matemáticos como René Descartes y Gottfried Wilhelm Leibniz que declaran que estos números son una tontería o puramente imaginarios y no aplicables de ninguna manera a la realidad, con el tiempo y después de solidificar su importancia en una variedad de campos, desde la electrónica hasta la mecánica de fluidos.
- Conjunto de Mandelbrot: El conjunto de Mandelbrot, descubierto por Benoit Mandelbrot, es un ejemplo sorprendente de un patrón fractal complejo generado mediante la iteración de números complejos. Este fractal se visualiza marcando los números complejos para los cuales la función z \mapsto z^2 + c no diverge cuando se itera desde z = 0, mostrando patrones intrincados y que se repiten sin cesar que han cautivado a matemáticos y artistas por igual.
- Una dimensión completamente nueva: los números complejos añaden una dimensión perpendicular a los números reales. En realidad, abre un rico panorama matemático y proporciona conocimientos profundos sobre los números y sus operaciones, que se extienden desde la línea unidimensional de los números reales hasta un plano complejo bidimensional.
Los números complejos abren un mundo de posibilidades al permitirnos resolver problemas que son imposibles de abordar sólo con números reales. Entonces, si bien pueden parecer un poco extravagantes, en realidad son increíblemente poderosos y versátiles tanto en aplicaciones teóricas como prácticas.

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