If $$ \mathrm{m} \angle A=x^{2}-6 x, \mathrm{~m} \angle B=2 x-3 $$, and $$ \mathrm{m} \angle A C D=9 x+27 $$, what is the value of $$ x $$ ? 1) 10 2) 2 3) 3 4) 15 8 In rhombus $$ A B C D $$, the diagonals $$ \overline{A C} $$ and $$ \overline{B D} $$ intersect at $$ E $$. If $$ A E=5 $$ and $$ B E=12 $$, what is the length of $$ \overline{A B} $$ ? 1) 7 2) 10 3) 13 4) 17 9calene triangle $$ A B C $$ is similar to triangle $$ D E F $$. Which statement is false? 1) $$ A B: B C=D E: E F $$ 2) $$ A C: D F=B C: E F $$ 3) $$ \angle A C B \cong \angle D F E $$ 4) $$ \angle A B C \cong \angle E D F $$

Question

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### 问题 7

如果 $$ \angle A = x^{2} - 6x $$, $$ \angle B = 2x - 3 $$，且 $$ \angle ACD = 9x + 27 $$，求 $$ x $$ 的值。

**解答：**

假设这是一个三角形，三个角的和为 $$ 180^\circ $$。

$$ 
(x^{2} - 6x) + (2x - 3) + (9x + 27) = 180 
$$
$$ 
x^{2} + 5x + 24 = 180 
$$
$$ 
x^{2} + 5x - 156 = 0 
$$

解方程：

$$ 
x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 624}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{649}}{2} 
$$

由于 $$ x $$ 为角度，应取正值：

$$ 
x ≈ \frac{-5 + 25.48}{2} ≈ 10.24 
$$

但在选项中最接近的是 **10**。

**答案：** 1) 10

---

### 问题 8

在菱形 $$ ABCD $$ 中，对角线 $$ \overline{AC} $$ 和 $$ \overline{BD} $$ 在 $$ E $$ 点相交。如果 $$ AE = 5 $$ 且 $$ BE = 12 $$，求 $$ \overline{AB} $$ 的长度。

**解答：**

菱形的对角线互相垂直，并且平分彼此。于是 $$ \triangle AEB $$ 是直角三角形，边长分别为 5 和 12。

根据勾股定理：

$$ 
AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 
$$

**答案：** 3) 13

---

### 问题 9

锐角三角形 $$ ABC $$ 与三角形 $$ DEF $$ 相似。以下哪项陈述是错误的？

1. $$ AB : BC = DE : EF $$
2. $$ AC : DF = BC : EF $$
3. $$ \angle ACB \cong \angle DFE $$
4. $$ \angle ABC \cong \angle EDF $$

**解答：**

相似三角形对应边的比例应一致，即 $$ AB : DE = BC : EF = AC : DF $$。

选项 2 中 $$ AC : DF = BC : EF $$ 不符合对应边比例关系，因此这是错误的陈述。

**答案：** 2) $$ AC : DF = BC : EF $$
### 问题 7 如果 $$ \angle A = x^{2} - 6x $$, $$ \angle B = 2x - 3 $$，且 $$ \angle ACD = 9x + 27 $$，求 $$ x $$ 的值。 **解答：** 设 $$ \angle A + \angle B + \angle ACD = 180^\circ $$。 $$ x^{2} - 6x + 2x - 3 + 9x + 27 = 180 $$ $$ x^{2} + 5x + 24 = 180 $$ $$ x^{2} + 5x - 156 = 0 $$ 解方程： $$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 624}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{649}}{2} $$ 取正值： $$ x ≈ 10.24 $$ 选项中最接近的是 **10**。 **答案：** 1) 10 --- ### 问题 8 在菱形 $$ ABCD $$ 中，对角线 $$ \overline{AC} $$ 和 $$ \overline{BD} $$ 在 $$ E $$ 点相交。如果 $$ AE = 5 $$ 且 $$ BE = 12 $$，求 $$ \overline{AB} $$ 的长度。 **解答：** 菱形的对角线互相垂直且平分。因此，$$ \triangle AEB $$ 是直角三角形，边长为 5 和 12。 根据勾股定理： $$ AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$ **答案：** 3) 13 --- ### 问题 9 锐角三角形 $$ ABC $$ 与三角形 $$ DEF $$ 相似。以下哪项陈述是错误的？ 1. $$ AB : BC = DE : EF $$ 2. $$ AC : DF = BC : EF $$ 3. $$ \angle ACB \cong \angle DFE $$ 4. $$ \angle ABC \cong \angle EDF $$ **解答：** 相似三角形对应边的比例应一致，即 $$ AB : DE = BC : EF = AC : DF $$。 选项 2 中 $$ AC : DF = BC : EF $$ 不符合对应边比例关系，因此这是错误的陈述。 **答案：** 2) $$ AC : DF = BC : EF $$

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