Encuentra el polinomio de interpolación de Newton que pasa p los puntos \( (1,1),(2,4) \) y \( (3,9) \). Respuesta: El polinomio de interpolación es \( P(x)=x^{2} \)

Sí, el polinomio de interpolación de Newton que pasa por los puntos \((1,1)\), \((2,4)\) y \((3,9)\) es efectivamente \( P(x) = x^{2} \). **Demostración:** 1. **Datos de los puntos:** \[ \begin{align*} x_0 &= 1,\ y_0 = 1 \\ x_1 &= 2,\ y_1 = 4 \\ x_2 &= 3,\ y_2 = 9 \\ \end{align*} \] 2. **Construcción de la tabla de diferencias divididas:** \[ \begin{array}{c|c|c|c} x & f[x] & f[x_0,x_1] & f[x_0,x_1,x_2] \\ \hline 1 & 1 & & \\ 2 & 4 & \frac{4 - 1}{2 - 1} = 3 & \frac{(9 - 4) - (4 - 1)}{3 - 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \\ 3 & 9 & \frac{9 - 4}{3 - 2} = 5 & \\ \end{array} \] 3. **Construcción del polinomio de interpolación:** El polinomio de Newton se construye de la siguiente forma: \[ P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x - x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x - x_0)(x - x_1) \] Sustituyendo los valores obtenidos: \[ P(x) = 1 + 3(x - 1) + 1(x - 1)(x - 2) \] Simplificando: \[ P(x) = 1 + 3x - 3 + (x^2 - 3x + 2) = x^2 \] Por lo tanto, el polinomio de interpolación es \( P(x) = x^{2} \).