Exercice 9: Soit f la fonction définie par \( \mathrm{f}(x)=\frac{2 x-3}{x+1} \) 1. Quel est l'ensemble de définition D de la fonction f ? 2. Démontrer que pour tout réel \( x \) de \( \mathrm{D}, \mathrm{f}(x)=2-\frac{5}{x+1} \) 3. Calculer \( \mathrm{f}(-3), \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) \) et \( \mathrm{f}(\sqrt{2}) \). 4. Résoudre l'équation \( \mathrm{f}(x)=5 \)

**Exercice 9** Soit \( f \) la fonction définie par \( \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \). --- **1. Ensemble de définition \( D \) de la fonction \( f \)** L'ensemble de définition d'une fonction rationnelle consiste à exclure les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur. Le dénominateur est \( x + 1 \). \[ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 \] Ainsi, l'ensemble de définition \( D \) de la fonction \( f \) est : \[ D = \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} \] --- **2. Démontrer que \( \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \)** Pour exprimer \( f(x) \) sous la forme souhaitée, procédons à une division polynomiale ou à une manipulation algébrique. \[ \mathrm{f}(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \] On peut réécrire le numérateur pour faciliter la séparation : \[ 2x - 3 = 2(x + 1) - 5 \] En substituant ceci dans l'expression de \( f(x) \) : \[ \mathrm{f}(x) = \frac{2(x + 1) - 5}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x + 1} - \frac{5}{x + 1} \] Simplifions le premier terme : \[ \frac{2(x + 1)}{x + 1} = 2 \] Ainsi, \[ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \] Ce qui démontre que : \[ \forall x \in D, \ \mathrm{f}(x) = 2 - \frac{5}{x + 1} \] --- **3. Calculer \( \mathrm{f}(-3) \), \( \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) \) et \( \mathrm{f}(\sqrt{2}) \).** a) Calcul de \( \mathrm{f}(-3) \) : \[ \mathrm{f}(-3) = \frac{2(-3) - 3}{-3 + 1} = \frac{-6 - 3}{-2} = \frac{-9}{-2} = \frac{9}{2} \] b) Calcul de \( \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) \) : \[ \mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right) - 3}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1 - 3}{\frac{3}{2}} = \frac{-2}{\frac{3}{2}} = -2 \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} \] c) Calcul de \( \mathrm{f}(\sqrt{2}) \) : \[ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} \] Il est possible de rationaliser le dénominateur : \[ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(2\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} \] Calculons le numérateur et le dénominateur séparément : Numérateur : \[ (2\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot 1 - 3 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 \] \[ = 2 \times 2 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3 \] \[ = 4 + 3 - 5\sqrt{2} \] \[ = 7 - 5\sqrt{2} \] Dénominateur : \[ (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \] Ainsi, \[ \mathrm{f}(\sqrt{2}) = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{1} = 7 - 5\sqrt{2} \] --- **4. Résoudre l'équation \( \mathrm{f}(x) = 5 \)** Nous cherchons les réels \( x \) dans \( D \) tels que : \[ \frac{2x - 3}{x + 1} = 5 \] Résolvons l'équation : \[ \frac{2x - 3}{x + 1} = 5 \] Multiplions les deux côtés par \( x + 1 \) (en rappelant que \( x \neq -1 \)) : \[ 2x - 3 = 5(x + 1) \] \[ 2x - 3 = 5x + 5 \] Isolons les termes en \( x \) d'un côté et constants de l'autre : \[ 2x - 5x = 5 + 3 \] \[ -3x = 8 \] \[ x = -\frac{8}{3} \] Vérifions que \( x = -\frac{8}{3} \) appartient à \( D \). En effet, \( -\frac{8}{3} \neq -1 \). Ainsi, la solution de l'équation est : \[ x = -\frac{8}{3} \] ---