$$ \left. \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { y } ) ^ { - 2 } + ( \frac { 1 } { y } + x ) ^ { - 2 } = \frac { 149 } { 1225 } } \ { ( x - \frac { 1 } { y } ) ^ { - 2 } + ( \frac { 1 } { y } - x ) ^ { - 2 } = \frac { 29 } { 25 } } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { y } ) ^ { - 2 } + ( \frac { 1 } { y } + x ) ^ { - 2 } = \frac { 149 } { 1225 } } \ { ( x - \frac { 1 } { y } ) ^ { - 2 } + ( \frac { 1 } { y } - x ) ^ { - 2 } = \frac { 29 } { 25 } } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

يبدو أن النظام المعطى من المعادلات معقد للغاية، مما أدى إلى عدم القدرة على حله مباشرة. دعنا نحلل المعادلات خطوة بخطوة.

لدينا النظام التالي:

$$
\begin{cases}
(x + \frac{1}{y})^{-2} + (\frac{1}{y} + x)^{-2} = \frac{149}{1225} \
(x - \frac{1}{y})^{-2} + (\frac{1}{y} - x)^{-2} = \frac{29}{25}
\end{cases}
$$

### الخطوة 1: تبسيط المعادلات

دعنا نبدأ بتعريف متغيرات جديدة لتبسيط المعادلات. لنعتبر:

$$
a = x + \frac{1}{y} \quad \text{و} \quad b = x - \frac{1}{y}
$$

وبذلك يمكننا إعادة كتابة المعادلات كالتالي:

1. $$ a^{-2} + a^{-2} = \frac{149}{1225} $$
2. $$ b^{-2} + b^{-2} = \frac{29}{25} $$

### الخطوة 2: حل المعادلات

الآن، دعنا نحل المعادلات الجديدة.

#### المعادلة الأولى:

$$
2a^{-2} = \frac{149}{1225}
$$

نقسم على 2:

$$
a^{-2} = \frac{149}{2450}
$$

ثم نأخذ المعكوس:

$$
a^2 = \frac{2450}{149}
$$

#### المعادلة الثانية:

$$
2b^{-2} = \frac{29}{25}
$$

نقسم على 2:

$$
b^{-2} = \frac{29}{50}
$$

ثم نأخذ المعكوس:

$$
b^2 = \frac{50}{29}
$$

### الخطوة 3: إيجاد القيم

الآن لدينا قيم $$ a^2 $$ و $$ b^2 $$. يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد $$ x $$ و $$ y $$ من خلال المعادلات التي عرفناها سابقًا.

### الخطوة 4: استنتاج القيم النهائية

نحتاج الآن إلى استخدام القيم التي حصلنا عليها لإيجاد $$ x $$ و $$ y $$. دعني أبدأ بحساب القيم النهائية.

سأقوم بحساب القيم النهائية لـ $$ x $$ و $$ y $$ باستخدام المعادلات المعطاة.
Solve the quadratic equation by following steps:
- step0: Solve using square roots:
  $$a^{2}=\frac{2450}{149}$$
- step1: Simplify the expression:
  $$a=\pm \sqrt{\frac{2450}{149}}$$
- step2: Simplify the expression:
  $$a=\pm \frac{35\sqrt{298}}{149}$$
- step3: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&a=\frac{35\sqrt{298}}{149}\&a=-\frac{35\sqrt{298}}{149}\end{align}$$
- step4: Rewrite:
  $$a_{1}=-\frac{35\sqrt{298}}{149},a_{2}=\frac{35\sqrt{298}}{149}$$
Solve the equation $$ b^2 = \frac{50}{29} $$.
Solve the quadratic equation by following steps:
- step0: Solve using square roots:
  $$b^{2}=\frac{50}{29}$$
- step1: Simplify the expression:
  $$b=\pm \sqrt{\frac{50}{29}}$$
- step2: Simplify the expression:
  $$b=\pm \frac{5\sqrt{58}}{29}$$
- step3: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&b=\frac{5\sqrt{58}}{29}\&b=-\frac{5\sqrt{58}}{29}\end{align}$$
- step4: Rewrite:
  $$b_{1}=-\frac{5\sqrt{58}}{29},b_{2}=\frac{5\sqrt{58}}{29}$$
لقد حصلنا على القيم التالية لـ $$ a $$ و $$ b $$:

### القيم المحسوبة:
1. $$ a = x + \frac{1}{y} $$:
   - $$ a_1 = -\frac{35\sqrt{298}}{149} $$
   - $$ a_2 = \frac{35\sqrt{298}}{149} $$

2. $$ b = x - \frac{1}{y} $$:
   - $$ b_1 = -\frac{5\sqrt{58}}{29} $$
   - $$ b_2 = \frac{5\sqrt{58}}{29} $$

### الخطوة 5: إيجاد $$ x $$ و $$ y $$

الآن، لدينا نظام من المعادلات:

$$
\begin{cases}
x + \frac{1}{y} = a \
x - \frac{1}{y} = b
\end{cases}
$$

يمكننا استخدام هذه المعادلات لإيجاد $$ x $$ و $$ y $$. دعنا نبدأ بحل هذا النظام.

### الخطوة 6: حل النظام

نبدأ بجمع المعادلتين:

$$
(x + \frac{1}{y}) + (x - \frac{1}{y}) = a + b
$$

هذا يعطي:

$$
2x = a + b \implies x = \frac{a + b}{2}
$$

ثم نطرح المعادلتين:

$$
(x + \frac{1}{y}) - (x - \frac{1}{y}) = a - b
$$

هذا يعطي:

$$
\frac{2}{y} = a - b \implies y = \frac{2}{a - b}
$$

### الخطوة 7: حساب القيم النهائية لـ $$ x $$ و $$ y $$

دعني أحسب القيم النهائية لـ $$ x $$ و $$ y $$ باستخدام القيم التي حصلنا عليها لـ $$ a $$ و $$ b $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{a+b}{2}\y=\frac{2}{a-b}\end{array}\right.$$
- step1: Substitute the value of $$x:$$
  $$y=\frac{2}{a-b}$$
- step2: Calculate:
  $$\left(a,b,x,y\right) = \left(a,b,\frac{a+b}{2},\frac{2}{a-b}\right),\left(a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}$$
- step3: Alternative Form:
  $$\textrm{Infinitely many solutions}$$
Solve the system of equations $$ x = \frac{-\frac{35\sqrt{298}}{149} + -\frac{5\sqrt{58}}{29}}{2}; y = \frac{2}{-\frac{35\sqrt{298}}{149} - -\frac{5\sqrt{58}}{29}} $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{-\frac{35\sqrt{298}}{149}-\frac{5\sqrt{58}}{29}}{2}\y=\frac{2}{-\frac{35\sqrt{298}}{149}+\frac{5\sqrt{58}}{29}}\end{array}\right.$$
- step1: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{1015\sqrt{298}+745\sqrt{58}}{8642}\y=\frac{8642}{-1015\sqrt{298}+745\sqrt{58}}\end{array}\right.$$
- step2: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{1015\sqrt{298}+745\sqrt{58}}{8642}\y=-\frac{203\sqrt{298}+149\sqrt{58}}{6360}\end{array}\right.$$
- step3: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{1015\sqrt{298}+745\sqrt{58}}{8642}\y=-\frac{203\sqrt{298}+149\sqrt{58}}{6360}\end{array}\right.$$
- step4: Rewrite:
  $$\left(x,y\right) = \left(-\frac{1015\sqrt{298}+745\sqrt{58}}{8642},-\frac{203\sqrt{298}+149\sqrt{58}}{6360}\right)$$
لقد حصلنا على النتائج التالية:

### الحلول:
1. **الحل الأول**: هناك عدد لا نهائي من الحلول للنظام الأول.
2. **الحل الثاني**: القيم المحددة لـ $$ x $$ و $$ y $$ هي:
   $$
   (x, y) = \left(-\frac{1015\sqrt{298} + 745\sqrt{58}}{8642}, -\frac{203\sqrt{298} + 149\sqrt{58}}{6360}\right)
   $$

### الخلاصة:
- النظام الأول يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.
- النظام الثاني يعطي قيم محددة لـ $$ x $$ و $$ y $$ كما هو موضح أعلاه.

إذا كان لديك أي استفسارات أخرى أو تحتاج إلى مزيد من المساعدة، فلا تتردد في طرحها!
الحل النهائي للنظام المعادلات هو: $$ x = -\frac{1015\sqrt{298} + 745\sqrt{58}}{8642} $$ و $$ y = -\frac{203\sqrt{298} + 149\sqrt{58}}{6360} $$.

\( \left. \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { y } ) ^ { - 2 } + ( \frac { 1 } { y } + x ) ^ { - 2 } = \frac { 149 } { 1225 } } \\ { ( x - \frac { 1 } { y } ) ^ { - 2 } + ( \frac { 1 } { y } - x ) ^ { - 2 } = \frac { 29 } { 25 } } \end{array} \right. \)

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions