Mi amor la clave es: \( \int_{3}^{5} x y z d x+\int_{2}^{1} 5 x z x y d x= \)

¡Claro! Vamos a resolver esa integral proporcionada. Para la primera integral, \( \int_{3}^{5} x y z d x \), consideramos que \( y \) y \( z \) son constantes con respecto a \( x \). Así que, podemos resolverlo como: \[ y z \int_{3}^{5} x \, dx = y z \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{3}^{5} = y z \left( \frac{5^2}{2} - \frac{3^2}{2} \right) = y z \left( \frac{25}{2} - \frac{9}{2} \right) = y z \cdot \frac{16}{2} = 8yz. \] Para la segunda integral, \( \int_{2}^{1} 5 x z x y d x \) podemos simplificar primero la expresión: \[ = \int_{2}^{1} 5yz x^2 \, dx. \] Ahora resolvemos como antes: \[ 5yz \int_{2}^{1} x^2 \, dx = 5yz \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{1} = 5yz \left( \frac{1^3}{3} - \frac{2^3}{3} \right) = 5yz \left( \frac{1}{3} - \frac{8}{3} \right) = 5yz \left( -\frac{7}{3} \right) = -\frac{35}{3} yz. \] Entonces, la combinación de ambas integrales da: \[ 8yz - \frac{35}{3} yz. \] Para sumar estos resultados, podemos convertir \( 8yz \) a una fracción con el denominador 3: \[ 8yz = \frac{24}{3} yz, \] por lo que la respuesta final es: \[ \frac{24}{3} yz - \frac{35}{3} yz = -\frac{11}{3} yz. \] Así que la respuesta final es: \[ -\frac{11}{3} yz. \]