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Factor \( -6 x^{4}+8 x^{2}+8 \) completely

Ask by Daniel Christensen. in the United States
Jan 23,2025

Solución de tutoría real

Respuesta verificada por el tutor

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The expression \( -6x^{4}+8x^{2}+8 \) factors completely to \( -2(x^{2}-2)(3x^{2}+2) \).

Solución

Factor the expression \( -6x^4+8x^2+8 \). Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(-6x^{4}+8x^{2}+8\) - step1: Factor the expression: \(-2\left(3x^{4}+2x^{2}-6x^{2}-4\right)\) - step2: Factor the expression: \(-2\left(x^{2}\left(3x^{2}+2\right)-2\left(3x^{2}+2\right)\right)\) - step3: Factor the expression: \(-2\left(x^{2}-2\right)\left(3x^{2}+2\right)\) The complete factorization of the expression \( -6x^{4}+8x^{2}+8 \) is \( -2(x^{2}-2)(3x^{2}+2) \).

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Beyond the Answer

To factor the expression \(-6 x^{4}+8 x^{2}+8\), we start by looking for a common factor in all the terms. We can factor out \(-2\): \[ -2(3x^4 - 4x^2 - 4) \] Next, we notice that the expression inside the parentheses is a quadratic in terms of \(x^2\). Let's substitute \(y = x^2\), then we have: \[ -2(3y^2 - 4y - 4) \] Next, we can factor \(3y^2 - 4y - 4\). To do this, we look for two numbers that multiply to \(3 \times -4 = -12\) and add to \(-4\). Those numbers are \(-6\) and \(2\). We can rewrite the middle term: \[ 3y^2 - 6y + 2y - 4 \] Now factor by grouping: \[ = 3y(y - 2) + 2(y - 2) \] This gives: \[ = (3y + 2)(y - 2) \] Substituting back \(y = x^2\), we get: \[ = (3x^2 + 2)(x^2 - 2) \] Putting it all together, we have: \[ = -2(3x^2 + 2)(x^2 - 2) \] Next, we can factor \(x^2 - 2\) further into \((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})\): Therefore, the completely factored form of \(-6 x^{4}+8 x^{2}+8\) is: \[ -2(3x^2 + 2)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]

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