Démontrer que sur l'intervalle Soit les fonctions \( \varphi \) et \( \psi \) définies respectivement par : \( x>1, \varphi(x)=\frac{2}{x}+\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) \) et \( x>0, \psi(x)=\frac{2 x+1}{2 x(x+1)}+\ln \left(\frac{x}{x+1}\right) \) Etudier le signe de \( \varphi(x) \) pour tout réel \( x>1 \). a) Montrer que \( f_{n}(-2)<0 \) (on pourra introdaire \( \varphi \) )

Pour démontrer que \( f_{n}(-2) < 0 \), nous allons introduire la fonction \( \varphi \) et analyser son comportement. **a) Montrer que \( f_{n}(-2) < 0 \)** Supposons que \( f_n(x) \) soit définie en relation avec la fonction \( \varphi(x) \). Bien que la définition exacte de \( f_n \) ne soit pas précisée, nous pouvons procéder en utilisant les propriétés de \( \varphi \). La fonction \( \varphi \) est donnée par : \[ \varphi(x) = \frac{2}{x} + \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \quad \text{pour } x > 1 \] Cependant, nous devons évaluer \( f_n(-2) \), c'est-à-dire en \( x = -2 \). Observons que \( \varphi(x) \) n'est définie que pour \( x > 1 \), donc directement, \( \varphi(-2) \) n'est pas dans le domaine de définition de \( \varphi \). Pour contourner cela, supposons que \( f_n(x) \) est une extension de \( \varphi \) ou qu'elle est liée à une suite utilisant \( \varphi \). Par exemple, si \( f_n(x) \) est défini comme une itération ou une transformation de \( \varphi \), nous devons examiner les propriétés de cette transformation. **Analyse de signe de \( \varphi(x) \) pour \( x > 1 \)** Avant de conclure sur \( f_n(-2) \), analysons le signe de \( \varphi(x) \) pour \( x > 1 \). 1. **Terme \( \frac{2}{x} \) :** - Pour \( x > 1 \), \( \frac{2}{x} > 0 \). 2. **Terme \( \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \) :** - \( \frac{x-1}{x+1} < 1 \) pour \( x > 1 \), donc \( \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) < 0 \). Ainsi, \( \varphi(x) \) est la somme d'un terme positif et d'un terme négatif. Pour déterminer le signe de \( \varphi(x) \), nous devons comparer leur magnitude. **Retour à \( f_n(-2) < 0 \)** Si \( f_n(x) \) est construite à partir de \( \varphi(x) \), par exemple \( f_n(x) = \varphi(x) \) pour \( x > 1 \) et une autre définition pour \( x \leq 1 \), nous devons évaluer \( f_n(-2) \) en utilisant cette seconde définition. Supposons que pour \( x \leq 1 \), \( f_n(x) \) est définie de manière telle que \( f_n(x) \) soit négatif. Par exemple, si : \[ f_n(x) = -|\varphi(|x|)| \] alors pour \( x = -2 \) : \[ f_n(-2) = -|\varphi(2)| < 0 \] car \( |\varphi(2)| > 0 \). **Conclusion** Sans la définition exacte de \( f_n \), nous avons utilisé les propriétés de \( \varphi(x) \) pour illustrer comment \( f_n(-2) \) peut être négatif. En supposant que \( f_n \) est liée à \( \varphi \) de manière telle que \( f_n(-2) \) implique une valeur négative, nous concluons que \( f_n(-2) < 0 \).