Fie \( S=\left\{(a, a+2 b, b) \in \mathbf{R}^{3} \mid a, b \in \mathbf{R}\right\} \) şi \( W=\left\{v=(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid 3 x-4 y+2 z=0\right\} \). Să se verifice că \( S \) este subspaţiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \).

Pentru a verifica că \( S \) este un subspațiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \), trebuie să demonstrăm că satisface cele trei condiții necesare: conține vectorul nul, este închis față de adunarea vectorială și este închis față de înmulțirea cu un scalar. **1. Verificarea vectorului nul:** Pentru \( a = 0 \) și \( b = 0 \), obținem vectorul \( (0, 0 + 2*0, 0) = (0, 0, 0) \). Deci, vectorul nul este în \( S \). **2. Închidere față de adunarea vectorială:** Luăm doi vectori în \( S \): \( v_1 = (a_1, a_1 + 2b_1, b_1) \) și \( v_2 = (a_2, a_2 + 2b_2, b_2) \). Calculăm suma acestora: \[ v_1 + v_2 = (a_1 + a_2, (a_1 + 2b_1) + (a_2 + 2b_2), b_1 + b_2) = (a_1 + a_2, (a_1 + a_2) + 2(b_1 + b_2), b_1 + b_2). \] Observăm că suma se poate scrie sub forma unui element din \( S \) cu \( a = a_1 + a_2 \) și \( b = b_1 + b_2 \). Astfel, \( S \) este închis față de adunare. **3. Închidere față de înmulțirea cu un scalar:** Fie \( v = (a, a + 2b, b) \) în \( S \) și \( k \) un scalar. Atunci, \[ k v = (ka, k(a + 2b), kb) = (ka, ka + 2kb, kb). \] Acest vector poate fi scris sub forma unui element din \( S \) cu \( a' = ka \) și \( b' = kb \). Prin urmare, \( S \) este închis față de înmulțirea cu scalar. Concluzionăm că \( S \) este un subspațiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \).