\( \int \frac { \sin ( x ) \cos ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) - \sin ( x ) - 2 } d x \)

Parece que a integral que você forneceu não pode ser calculada diretamente. Vamos tentar simplificá-la antes de resolver. A integral é: \[ \int \frac { \sin ( x ) \cos ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) - \\sin ( x ) - 2 } d x \] ### Passo 1: Simplificar o denominador Primeiro, vamos fatorar o denominador \( \sin^2(x) - \sin(x) - 2 \). Para isso, podemos usar a fórmula quadrática: \[ a = 1, \quad b = -1, \quad c = -2 \] O discriminante \( D \) é dado por: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \] As raízes são: \[ \sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Isso nos dá as raízes: \[ \sin(x) = 2 \quad \text{ou} \quad \sin(x) = -1 \] ### Passo 2: Fatorar o denominador Assim, podemos fatorar o denominador como: \[ \sin^2(x) - \sin(x) - 2 = (\sin(x) - 2)(\sin(x) + 1) \] ### Passo 3: Reescrever a integral Agora, a integral se torna: \[ \int \frac{\sin(x) \cos(x)}{(\sin(x) - 2)(\sin(x) + 1)} dx \] ### Passo 4: Usar substituição Podemos usar a substituição \( u = \sin(x) \), então \( du = \cos(x) dx \). A integral se transforma em: \[ \int \frac{u}{(u - 2)(u + 1)} du \] ### Passo 5: Decomposição em frações parciais Agora, vamos decompor a fração: \[ \frac{u}{(u - 2)(u + 1)} = \frac{A}{u - 2} + \frac{B}{u + 1} \] Multiplicando ambos os lados por \( (u - 2)(u + 1) \) e resolvendo para \( A \) e \( B \): \[ u = A(u + 1) + B(u - 2) \] Vamos resolver isso para encontrar \( A \) e \( B \). ### Passo 6: Resolver para \( A \) e \( B \) Substituindo valores de \( u \): 1. Para \( u = 2 \): \[ 2 = A(2 + 1) + B(2 - 2) \implies 2 = 3A \implies A = \frac{2}{3} \] 2. Para \( u = -1 \): \[ -1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 2) \implies -1 = -3B \implies B = \frac{1}{3} \] ### Passo 7: Reescrever a integral Agora, podemos reescrever a integral como: \[ \int \left( \frac{2/3}{u - 2} + \frac{1/3}{u + 1} \right) du \] ### Passo 8: Integrar Agora, integramos cada parte: \[ \int \frac{2/3}{u - 2} du + \int \frac{1/3}{u + 1} du \] Isso resulta em: \[ \frac{2}{3} \ln |u - 2| + \frac{1}{3} \ln |u + 1| + C \] ### Passo 9: Substituir \( u \) de volta Substituindo \( u = \sin(x) \): \[ \frac{2}{3} \ln |\sin(x) - 2| + \frac{1}{3} \ln |\sin(x) + 1| + C \] ### Resumo da Solução A integral original é: \[ \int \frac { \sin ( x ) \cos ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) - \sin ( x ) - 2 } d x = \frac{2}{3} \ln |\sin(x) - 2| + \frac{1}{3} \ln |\sin(x) + 1| + C \]