Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos mede 30 graus e a hipotenusa mede 12 cm, calcule a medida do cateto oposto a esse ângulo usando o Teorema de Pitágoras.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos utilizar o **Teorema de Pitágoras** junto com as propriedades de um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus.

### Passo a Passo:

1. **Identificação dos elementos do triângulo:**
   - **Hipotenusa (h):** 12 cm
   - **Ângulo agudo:** 30 graus
   - **Cateto oposto ao ângulo de 30 graus (x):** o que queremos encontrar
   - **Cateto adjacente ao ângulo de 30 graus (y):** desconhecido

2. **Relação entre os lados em um triângulo de 30°-60°-90°:**
   - Em um triângulo retângulo onde um dos ângulos agudos é 30°, os lados seguem a proporção:
     - **Cateto oposto (x):** h/2
     - **Cateto adjacente (y):** (h√3)/2

3. **Aplicação da proporção:**
   - **Cateto oposto (x):**
     $$
     x = \frac{h}{2} = \frac{12\ cm}{2} = 6\ cm
     $$

4. **Verificação utilizando o Teorema de Pitágoras:**
   $$
   x^2 + y^2 = h^2
   $$
   Sabendo que $$ y = x\sqrt{3} $$:
   $$
   (6)^2 + (6\sqrt{3})^2 = 12^2 \
   36 + 108 = 144 \
   144 = 144 \quad \text{(Confirmação correta)}
   $$

### **Resposta Final:**
A medida do cateto oposto ao ângulo de 30 graus é **6 centímetros**.
O cateto oposto ao ângulo de 30 graus mede 6 centímetros.

Em um triângulo retângulo, se um dos ângulos agudos mede 30 graus e a hipotenusa mede 12 cm, calcule a medida do cateto oposto a esse ângulo usando o Teorema de Pitágoras.

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