26 On considère la fraction rationnelle \( f \) définie par: \( f(x)=\frac{x^{2}+9 x}{x-4} \). Déterminer les nombres réels \( a \) et \( b \) tels que pour tout nombre réel \( x \) différent de \( 4: f(x)= \) \( x+a+\frac{b}{x-4} \). 27 Déterminer les nombres réels \( a, b \) et c tels que pour tout \( x \in \mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\} \), on ait : \( \frac{3 x^{2}+5 x-1}{x^{2}+x-2}=a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+2} \).

### Problème 26 **Énoncé :** On considère la fraction rationnelle \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{x^{2} + 9x}{x - 4} \] Déterminer les nombres réels \( a \) et \( b \) tels que, pour tout nombre réel \( x \) différent de \( 4 \), \[ f(x) = x + a + \frac{b}{x - 4} \] **Solution :** Nous devons exprimer \( f(x) \) sous la forme \( f(x) = x + a + \frac{b}{x - 4} \). Cela implique d'effectuer une division polynomiale du numérateur \( x^2 + 9x \) par le dénominateur \( x - 4 \). 1. **Division polynomiale :** Divisons \( x^2 + 9x \) par \( x - 4 \). - **Étape 1 :** Diviser le terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur. \[ \frac{x^2}{x} = x \] - **Étape 2 :** Multiplier le quotient obtenu par le diviseur et soustraire le résultat du numérateur. \[ x \times (x - 4) = x^2 - 4x \] \[ (x^2 + 9x) - (x^2 - 4x) = 13x \] - **Étape 3 :** Répéter le processus avec le reste obtenu. \[ \frac{13x}{x} = 13 \] \[ 13 \times (x - 4) = 13x - 52 \] \[ 13x - (13x - 52) = 52 \] 2. **Résultat de la division :** \[ f(x) = x + 13 + \frac{52}{x - 4} \] Ainsi, les valeurs recherchées sont : \[ a = 13 \quad \text{et} \quad b = 52 \] --- ### Problème 27 **Énoncé :** Déterminer les nombres réels \( a, b \) et \( c \) tels que, pour tout \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\} \), \[ \frac{3x^{2} + 5x - 1}{x^{2} + x - 2} = a + \frac{b}{x - 1} + \frac{c}{x + 2} \] **Solution :** Nous cherchons à décomposer la fraction rationnelle en éléments simples. 1. **Factorisation du dénominateur :** \[ x^{2} + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \] 2. **Forme de la décomposition en éléments simples :** \[ \frac{3x^{2} + 5x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = a + \frac{b}{x - 1} + \frac{c}{x + 2} \] 3. **Écriture sous le même dénominateur :** \[ 3x^{2} + 5x - 1 = a(x - 1)(x + 2) + b(x + 2) + c(x - 1) \] 4. **Développement du côté droit :** \[ a(x^2 + x - 2) + b(x + 2) + c(x - 1) = a x^2 + a x - 2a + b x + 2b + c x - c \] \[ = a x^2 + (a + b + c)x + (-2a + 2b - c) \] 5. **Équation des coefficients :** Comparons les coefficients des deux côtés de l'équation : - Pour \( x^2 \) : \[ 3 = a \] - Pour \( x \) : \[ 5 = a + b + c \] - Terme constant : \[ -1 = -2a + 2b - c \] 6. **Résolution du système d'équations :** - De la première équation : \[ a = 3 \] - Substituons \( a = 3 \) dans la deuxième équation : \[ 5 = 3 + b + c \implies b + c = 2 \] - Substituons \( a = 3 \) dans la troisième équation : \[ -1 = -6 + 2b - c \implies 2b - c = 5 \] - Nous avons donc le système : \[ \begin{cases} b + c = 2 \\ 2b - c = 5 \end{cases} \] - Additionnons les deux équations : \[ 3b = 7 \implies b = \frac{7}{3} \] - Remplaçons \( b \) dans \( b + c = 2 \) : \[ \frac{7}{3} + c = 2 \implies c = 2 - \frac{7}{3} = -\frac{1}{3} \] 7. **Conclusion :** Les valeurs recherchées sont : \[ a = 3, \quad b = \frac{7}{3}, \quad \text{et} \quad c = -\frac{1}{3} \]