$$ \text { Problème 2. } $$ On considère la fonction $$ f $$ définie par $$ : f(x)=(x+1) \sqrt{x} $$ 1) Déterminer $$ D_{f} $$. 2) Calculer $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $$ et $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} $$ puis intérpreter géométriquement le résultat. 3) a)Etudier la dérivabilité de $$ f $$ à droite en $$ a=0 $$. b)Intérpréter géométriquement le résultat. 4) a)Montrer que : $$ (\forall x \in] 0 ;+\infty[): f^{\prime}(x)=\frac{3 x+1}{2 \sqrt{x}} $$ b) Dresser le tableau de variations de $$ f $$. c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $$ f $$ au point de l'abscisse $$ x_{0}=1 $$. 5) a) Montrer que $$ \left(\forall x \in D_{f}\right): f^{\prime \prime}(x)=\left(\frac{3 x-1}{4 x \sqrt{x}}\right) $$ b) Etudier le signe de f $$ f^{\prime \prime}(x) $$ pour tout $$ x $$ de $$ D_{f} $$. c) Montrer que $$ f $$ admet une point d'inflexion en déterminant

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**Problème 2.** On considère la fonction $$ f $$ définie par $$ f(x) = (x + 1) \sqrt{x} $$. --- ### 1) Déterminer $$ D_{f} $$. **Solution :** La fonction $$ f(x) = (x + 1) \sqrt{x} $$ est composée de deux fonctions : - $$ \sqrt{x} $$, qui est définie pour $$ x \geq 0 $$. - $$ x + 1 $$, qui est définie pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$. Ainsi, le domaine de définition de $$ f $$ est limité par le domaine de $$ \sqrt{x} $$. **Donc,** $$ D_{f} = [0, +\infty[ $$ --- ### 2) Calculer $$ \lim _{x \rightarrow +\infty} f(x) $$ et $$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} $$, puis interpréter géométriquement le résultat. **Solution :** a) Calcul de $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$: $$ f(x) = (x + 1) \sqrt{x} = x \sqrt{x} + \sqrt{x} = x^{3/2} + x^{1/2} $$ Quand $$ x \to +\infty $$, $$ x^{3/2} $$ domine $$ x^{1/2} $$. Ainsi, $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$ b) Calcul de $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} $$: $$ \frac{f(x)}{x} = \frac{(x + 1) \sqrt{x}}{x} = \frac{x \sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} $$ Quand $$ x \to +\infty $$, $$ \sqrt{x} \to +\infty $$ et $$ \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0 $$. Ainsi, $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty $$ **Interprétation géométrique :** - $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$ signifie que la fonction $$ f $$ croît sans borne lorsque $$ x $$ tend vers l'infini. - $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty $$ indique que la croissance de $$ f(x) $$ est plus rapide que celle de la droite $$ y = x $$. Ainsi, au fur et à mesure que $$ x $$ augmente, la courbe de $$ f $$ s'éloigne de plus en plus de la droite d'équation $$ y = x $$. --- ### 3) a) Étudier la dérivabilité de $$ f $$ à droite en $$ a = 0 $$. b) Interpréter géométriquement le résultat. **Solution :** a) **Dérivabilité à droite en $$ a = 0 $$:** Pour étudier la dérivabilité à droite en $$ x = 0 $$, on calcule la dérivée à droite, c’est-à-dire la limite : $$ f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} $$ Sachant que $$ f(0) = 0 $$, on a : $$ f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(h + 1)\sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h \sqrt{h} + \sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \sqrt{h} + \frac{1}{\sqrt{h}} $$ Le terme $$ \frac{1}{\sqrt{h}} $$ tend vers $$ +\infty $$ lorsque $$ h \to 0^+ $$. **Ainsi,** $$ f'_+(0) = +\infty $$ Cela signifie que la dérivée à droite en $$ x = 0 $$ n'existe pas de manière finie. b) **Interprétation géométrique :** La tangente à la courbe en $$ x = 0 $$ aurait une pente infinie, ce qui correspond à une verticale. Cela indique que la courbe $$ f $$ présente une pente très raide à proximité de $$ x = 0 $$, accroissant de façon infinie en direction verticale à l'approche de ce point. --- ### 4) a) Montrer que $$ \forall x \in\, ]0 ; +\infty[, \ f'(x) = \frac{3x + 1}{2 \sqrt{x}} $$ b) Dresser le tableau de variations de $$ f $$. c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $$ f $$ au point d'abscisse $$ x_0 = 1 $$. **Solution :** a) **Calcul de la dérivée $$ f'(x) $$:** $$ f(x) = (x + 1) \sqrt{x} $$ Utilisons la règle du produit : $$ f'(x) = (x + 1)' \sqrt{x} + (x + 1) (\sqrt{x})' $$ $$ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$ $$ f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}} $$ $$ f'(x) = \frac{2x + 2 (x + 1)}{2 \sqrt{x}} $$ (en mettant au même dénominateur) $$ f'(x) = \frac{2x + x + 1}{2 \sqrt{x}} $$ $$ f'(x) = \frac{3x + 1}{2 \sqrt{x}} $$ **Donc,** $$ \forall x \in\, ]0 ; +\infty[, \ f'(x) = \frac{3x + 1}{2 \sqrt{x}} $$ b) **Tableau de variations de $$ f $$:** Pour dresser le tableau de variations, nous devons analyser le signe de $$ f'(x) $$. $$ f'(x) = \frac{3x + 1}{2 \sqrt{x}} $$ Le dénominateur $$ 2 \sqrt{x} $$ est positif pour tout $$ x > 0 $$. Donc, le signe de $$ f'(x) $$ dépend du numérateur $$ 3x + 1 $$. Résolvons $$ 3x + 1 = 0 $$: $$ 3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3} $$ Mais $$ x > 0 $$, donc $$ 3x + 1 > 0 $$ pour tout $$ x > 0 $$. **Ainsi,** $$ f'(x) > 0 $$ pour tout $$ x \in\, ]0 ; +\infty[ $$. **Conclusion du tableau de variations :** La fonction $$ f $$ est strictement croissante sur $$ D_f = [0, +\infty[ $$. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & & +\infty \ \hline f'(x) & \text{non défini à } x=0 & >0 & >0 \ \hline f(x) & 0 & \nearrow & +\infty \ \hline \end{array} $$ c) **Équation de la tangente à la courbe en $$ x_0 = 1 $$:** Calculons $$ f(1) $$ et $$ f'(1) $$. $$ f(1) = (1 + 1) \sqrt{1} = 2 \times 1 = 2 $$ $$ f'(1) = \frac{3 \times 1 + 1}{2 \sqrt{1}} = \frac{4}{2} = 2 $$ L'équation de la tangente au point $$ (1, 2) $$ est : $$ y = f'(1)(x - x_0) + f(x_0) $$ $$ y = 2(x - 1) + 2 $$ $$ y = 2x - 2 + 2 $$ $$ y = 2x $$ **Donc, l'équation de la tangente est :** $$ y = 2x $$ --- ### 5) a) Montrer que $$ \forall x \in D_{f}, \ f''(x) = \frac{3x - 1}{4 x \sqrt{x}} $$ b) Étudier le signe de $$ f''(x) $$ pour tout $$ x \in D_{f} $$. c) Montrer que $$ f $$ admet un point d'inflexion en déterminant ... **Solution :** a) **Calcul de la seconde dérivée $$ f''(x) $$:** Nous avons : $$ f'(x) = \frac{3x + 1}{2 \sqrt{x}} $$ Simplifions : $$ f'(x) = \frac{3x + 1}{2 x^{1/2}} = \frac{3x + 1}{2} x^{-1/2} $$ Calculons $$ f''(x) $$ en utilisant la règle de dérivation pour les puissances : $$ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3x + 1}{2} x^{-1/2} \right) $$ $$ f''(x) = \frac{3}{2} x^{-1/2} + \frac{3x + 1}{2} \left( -\frac{1}{2} x^{-3/2} \right) $$ $$ f''(x) = \frac{3}{2} x^{-1/2} - \frac{3x + 1}{4} x^{-3/2} $$ $$ f''(x) = \frac{6x}{4 x^{3/2}} - \frac{3x + 1}{4 x^{3/2}} $$ $$ f''(x) = \frac{6x - (3x + 1)}{4 x^{3/2}} $$ $$ f''(x) = \frac{3x - 1}{4 x^{3/2}} $$ $$ f''(x) = \frac{3x - 1}{4 x \sqrt{x}} $$ **Donc,** $$ \forall x \in D_{f}, \ f''(x) = \frac{3x - 1}{4 x \sqrt{x}} $$ b) **Étude du signe de $$ f''(x) $$ :** $$ f''(x) = \frac{3x - 1}{4 x \sqrt{x}} $$ Le dénominateur $$ 4x \sqrt{x} $$ est positif pour tout $$ x > 0 $$. Le signe dépend donc du numérateur $$ 3x - 1 $$. Résolvons $$ 3x - 1 = 0 $$: $$ 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3} $$ **Analyse du signe :** - Pour $$ 0 < x < \frac{1}{3} $$ : $$ 3x - 1 < 0 $$ ⇒ $$ f''(x) < 0 $$ - Pour $$ x = \frac{1}{3} $$ : $$ 3x - 1 = 0 $$ ⇒ $$ f''(x) = 0 $$ - Pour $$ x > \frac{1}{3} $$ : $$ 3x - 1 > 0 $$ ⇒ $$ f''(x) > 0 $$ **Tableau de signes de $$ f''(x) $$:** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \frac{1}{3} & & +\infty \ \hline 3x - 1 & - & 0 & + & + \ \hline f''(x) & - & 0 & + & + \ \hline \end{array} $$ c) **Existence d'un point d'inflexion :** Un point d'inflexion survient lorsque la concavité de la fonction change, c'est-à-dire lorsque $$ f''(x) $$ change de signe. D'après l'étude précédente : - $$ f''(x) $$ passe de négatif à positif en $$ x = \frac{1}{3} $$. *Calculons les coordonnées du point d'inflexion :* $$ x = \frac{1}{3} $$ Calculons $$ f\left( \frac{1}{3} \right) $$ : $$ f\left( \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) \sqrt{ \frac{1}{3} } = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{9} $$ **Donc,** La fonction $$ f $$ admet un point d'inflexion en $$ \left( \frac{1}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{9} \right) $$. **Résumé :** - **Dérivée seconde :** $$ f''(x) = \frac{3x - 1}{4 x \sqrt{x}} $$ - **Signe de $$ f''(x) $$ :** $$ \begin{cases} f''(x) < 0 & \text{pour } 0 < x < \frac{1}{3} \ f''(x) = 0 & \text{pour } x = \frac{1}{3} \ f''(x) > 0 & \text{pour } x > \frac{1}{3} \end{cases} $$ - **Point d'inflexion :** $$ \left( \frac{1}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{9} \right) $$ --- N'hésitez pas à demander des précisions ou des développements supplémentaires sur une partie particulière du problème ! failed to answer the question

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