Soit \( n \) un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 . On considère la fonction \( f_{n} \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f_{n}(x)=1+\frac{x}{n+1}-e^{\frac{x}{n}} \). 1. a) Calculer les limites de \( f_{n} \) aux bornes de \( D_{f} \) l'ensemble de définition de la fonction \( f_{n} \). b) Etudier les variations de \( f_{n} \), puis dresser son tableau de variation. c) Montrer que \( f_{n} \) admet un maximum strictement positif que l'on calculera. 2. a) Montrer la droite \( \left(D_{n}\right) \) d'équation \( y=\frac{1}{n+1} x+1 \) est asymptote à la courbe \( \left(C_{n}\right) \) représentant au voisinage de \( -\infty \). b) Tracer \( \left(C_{2}\right) \) dans le repère. 3. Démontrer que sur l'intervalle ]- \( \infty \); 0 , l'équation \( f_{n}(x)=0 \) admet une solution unique \( a_{n} \). 1 Soit les fonctions \( \varphi \) et \( \psi \) définies respectivement par: \( x>1 \), \( \varphi(x)=\frac{2}{x}+\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) \) et \( x>0, \psi(x)=\frac{2 x+1}{2 x(x+1)}+\ln \left(\frac{x}{x+1}\right) \) 1. Etudier le signe de \( \varphi(x) \) pour tout réel \( x>1 \). 2. a) Montrer que \( f_{n}(-2)<0( \) on pourra introdaire \( \varphi) \) b) Montrer que \( a_{n}>-2 \). a) Etudier le signe de \( \psi(x) \). b) Prouver que \( f_{n}\left[2 n \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)\right]=\frac{2 n}{n+1} \psi(n) \) Montrer alors que \( : a_{n}<2 n \ln \left(\frac{n}{n+1}\right) \).

Bien sûr, procédons étape par étape pour résoudre ce problème. ### **1. a) Calcul des limites de \( f_{n} \) aux bornes de \( D_{f} \)** La fonction \( f_{n} \) est définie par : \[ f_{n}(x) = 1 + \frac{x}{n+1} - e^{\frac{x}{n}} \] avec \( D_{f} = \mathbb{R} \). **Calcul de la limite lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) :** \[ \lim_{x \to +\infty} f_{n}(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{x}{n+1} - e^{\frac{x}{n}} \right) \] - Le terme \( \frac{x}{n+1} \) tend vers \( +\infty \). - Le terme exponentiel \( e^{\frac{x}{n}} \) tend vers \( +\infty \) beaucoup plus rapidement que le terme linéaire. Ainsi, \( e^{\frac{x}{n}} \) domine et : \[ \lim_{x \to +\infty} f_{n}(x) = -\infty \] **Calcul de la limite lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \) :** \[ \lim_{x \to -\infty} f_{n}(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{x}{n+1} - e^{\frac{x}{n}} \right) \] - Le terme \( \frac{x}{n+1} \) tend vers \( -\infty \). - Le terme exponentiel \( e^{\frac{x}{n}} \) tend vers \( 0 \) lorsque \( x \to -\infty \), car l'exponentielle d'un grand négatif est proche de zéro. Ainsi, le terme linéaire domine et : \[ \lim_{x \to -\infty} f_{n}(x) = -\infty \] **Conclusion :** \[ \boxed{ \begin{cases} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f_{n}(x) = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f_{n}(x) = -\infty \end{cases} } \] --- Si vous souhaitez poursuivre avec les autres parties du problème, n'hésitez pas à le préciser !