Zeigen Sie, dass der Graph von a) g: $$ x \mapsto-x^{3}-2 x^{2}-x $$ aus dem Graphen von $$ f: x \mapsto x^{2}(x-1) $$ durch Spiegelung an der $$ x $$-Achse und Verschiebung um - 1 in $$ x $$-Richtung hervorgeht, b) $$ g: x \mapsto-\frac{2}{n} $$ aus dem Graphen von $$ f: x \mapsto 1 $$ durch Spiegelung an der $$ x $$-Achse, Streckung mit

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Um die beiden Aufgaben zu lösen, analysieren wir die Funktionen und deren Transformationen.

### a)

Gegeben sind die Funktionen:
- $$ f(x) = x^2(x-1) $$
- $$ g(x) = -x^3 - 2x^2 - x $$

Zuerst untersuchen wir die Funktion $$ f(x) $$:

$$
f(x) = x^2(x-1) = x^3 - x^2
$$

Nun führen wir die Transformationen durch, um zu zeigen, dass $$ g(x) $$ aus $$ f(x) $$ hervorgeht.

1. **Spiegelung an der $$ x $$-Achse**: 
   Wenn wir $$ f(x) $$ an der $$ x $$-Achse spiegeln, erhalten wir $$ -f(x) $$:

$$
-f(x) = -(x^3 - x^2) = -x^3 + x^2
$$

2. **Verschiebung um -1 in $$ x $$-Richtung**: 
   Um die Funktion um -1 in $$ x $$-Richtung zu verschieben, ersetzen wir $$ x $$ durch $$ x + 1 $$:

$$
-f(x + 1) = -((x + 1)^3 - (x + 1)^2)
$$

Nun berechnen wir $$ (x + 1)^3 $$ und $$ (x + 1)^2 $$:

$$
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
$$
$$
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
$$

Setzen wir diese in die Gleichung ein:

$$
-f(x + 1) = -((x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^2 + 2x + 1))
$$
$$
= -((x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^2 - 2x - 1))
$$
$$
= -((x^3 + 2x^2 + x))
$$
$$
= -x^3 - 2x^2 - x
$$

Somit haben wir gezeigt, dass $$ g(x) = -f(x + 1) $$.

### b)

Gegeben sind die Funktionen:
- $$ f(x) = 1 $$
- $$ g(x) = -\frac{2}{n} $$

1. **Spiegelung an der $$ x $$-Achse**: 
   Wenn wir $$ f(x) $$ an der $$ x $$-Achse spiegeln, erhalten wir:

$$
-g(x) = -1
$$

2. **Streckung**: 
   Um die Funktion zu strecken, multiplizieren wir mit einem Faktor. In diesem Fall strecken wir um den Faktor $$ \frac{2}{n} $$:

$$
g(x) = -\frac{2}{n} \cdot 1 = -\frac{2}{n}
$$

Somit haben wir gezeigt, dass $$ g(x) $$ aus $$ f(x) $$ durch Spiegelung an der $$ x $$-Achse und Streckung hervorgeht.

Zusammenfassend haben wir in beiden Fällen die geforderten Transformationen durchgeführt und die Beziehungen zwischen den Funktionen nachgewiesen.
### a) 1. **Spiegelung an der $$ x $$-Achse**: $$ f(x) = x^3 - x^2 $$ wird zu $$ -f(x) = -x^3 + x^2 $$. 2. **Verschiebung um -1 in $$ x $$-Richtung**: $$ -f(x + 1) = -x^3 - 2x^2 - x $$. ### b) 1. **Spiegelung an der $$ x $$-Achse**: $$ f(x) = 1 $$ wird zu $$ -f(x) = -1 $$. 2. **Streckung**: $$ -\frac{2}{n} \cdot 1 = -\frac{2}{n} $$.

Zeigen Sie, dass der Graph von
a) g: aus dem Graphen von durch Spiegelung an der -Achse
und Verschiebung um - 1 in -Richtung hervorgeht,
b) aus dem Graphen von durch Spiegelung an der -Achse, Streckung mit

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a)

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