Pregunta
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EXERCISE 5.1 1. Find the volume of the parallelopiped with adjacent sides. \[ \overline{O A}=3 \hat{i}-\hat{j}, \quad \overline{O B}=\hat{j}+2 \hat{k} \text {, and } \overline{O C}=\hat{i}+5 \hat{j}+4 \hat{k} \] extending from the origin of co-ordinates \( O \)

Ask by Mcguire Wright. in Nigeria
Jan 22,2025

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The volume of the parallelepiped is 20 cubic units.

Solución

To find the volume of the parallelepiped defined by the vectors \(\overline{OA}\), \(\overline{OB}\), and \(\overline{OC}\), we can use the **scalar triple product**. The volume \(V\) is given by the absolute value of the scalar triple product of the three vectors: \[ V = \left| \overline{OA} \cdot (\overline{OB} \times \overline{OC}) \right| \] Let's proceed step by step. ### Step 1: Express the Vectors in Component Form Given: \[ \overline{OA} = 3\hat{i} - \hat{j} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ \overline{OB} = \hat{j} + 2\hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] \[ \overline{OC} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \] ### Step 2: Compute the Cross Product \(\overline{OB} \times \overline{OC}\) The cross product of two vectors \(\mathbf{B} = \begin{pmatrix} B_x \\ B_y \\ B_z \end{pmatrix}\) and \(\mathbf{C} = \begin{pmatrix} C_x \\ C_y \\ C_z \end{pmatrix}\) is: \[ \mathbf{B} \times \mathbf{C} = \begin{pmatrix} B_y C_z - B_z C_y \\ B_z C_x - B_x C_z \\ B_x C_y - B_y C_x \end{pmatrix} \] Applying this to \(\overline{OB}\) and \(\overline{OC}\): \[ \overline{OB} \times \overline{OC} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 1 - 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot 5 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 10 \\ 2 - 0 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \] ### Step 3: Compute the Scalar Triple Product Now, take the dot product of \(\overline{OA}\) with \(\overline{OB} \times \overline{OC}\): \[ \overline{OA} \cdot (\overline{OB} \times \overline{OC}) = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = (3)(-6) + (-1)(2) + (0)(-1) = -18 - 2 + 0 = -20 \] ### Step 4: Determine the Volume The volume is the absolute value of the scalar triple product: \[ V = \left| -20 \right| = 20 \text{ cubic units} \] ### Conclusion **The volume of the parallelepiped is 20 cubic units.**

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To find the volume of the parallelepiped formed by the vectors \(\overline{O A}\), \(\overline{O B}\), and \(\overline{O C}\), we can use the scalar triple product formula, which can be calculated as the absolute value of the determinant of the matrix formed by these vectors. The vectors are: \[ \overline{O A} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overline{O B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overline{O C} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \] Now we arrange these vectors in a matrix: \[ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} \] Calculating this determinant: 1. Calculate the first row expansion: \[ 3 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - 0 + 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \] 2. Calculating the 2x2 determinants: \[ \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (5)(2) = 4 - 10 = -6 \] \[ \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(2) - (1)(0) = -2 \] 3. Putting everything together: \[ 3(-6) + 1(-2) = -18 - 2 = -20 \] 4. Therefore, the volume \( V \) of the parallelepiped is: \[ V = | -20 | = 20 \] The volume of the parallelepiped is \( 20 \) cubic units.

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