7. Fie \( P: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3}, P(x)=\left(\frac{1}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{2}, \frac{1}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{2}, x_{3}\right) \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3} \). Să se verifice că \( P \) este operator autoadjunct şi nu este operator ortogonal (pe \( \mathbf{R}^{3} \) se consideră produsul scalar uzual).

Pentru a verifica proprietățile operatorului \( P \) definit pe \( \mathbf{R}^{3} \) prin \[ P(x) = \left(\frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2}, \frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2}, x_{3}\right), \] vom analiza matricea asociată lui \( P \) și proprietățile acesteia. ### 1. Reprezentarea matriceială a operatorului \( P \) Operatorul liniar \( P \) poate fi reprezentat prin matricea \( A \) astfel încât \[ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \] Această matrice este construită din coeficienții care multiplică componentele vectorului \( x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \). ### 2. Verificarea că \( P \) este operator autoadjunct Un operator este **autoadjunct** dacă matricea sa este simetrică, adică \( A = A^{T} \). Calculăm transpusul matricei \( A \): \[ A^{T} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \] Observăm că \( A^{T} = A \), deci matricea este simetrică. Astfel, operatorul \( P \) este autoadjunct. ### 3. Verificarea că \( P \) nu este operator ortogonal Un operator este **ortogonal** dacă matricea sa satisface relația \( A^{T} A = I \), unde \( I \) este matricea identitate. Calculăm produsul \( A^{T} A \): \[ A^{T} A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \] Observăm că \( A^{T} A = A \), iar aceasta nu este matricea identitate \( I \) (de exemplu, elementul \( (1,1) \) este \( \frac{1}{2} \) și nu 1). Prin urmare, \( A^{T} A \neq I \), ceea ce indică faptul că operatorul \( P \) nu este ortogonal. ### Concluzie Am demonstrat că operatorul \( P \) este autoadjunct deoarece matricea sa este simetrică. De asemenea, am arătat că \( P \) nu este ortogonal deoarece produsul \( A^{T} A \) nu este matricea identitate. Astfel, \( P \) este un operator autoadjunct dar nu ortogonal pe \( \mathbf{R}^{3} \).