PROBLEME 1 Partie A Soit g la fonction numérique définie sur $$ ] 0 ;+\infty\left[\right. $$ par $$ g(x)=x(1+\ln x)^{2}-1 $$ 1. On admettra que g est dérivable sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ a) Calculer $$ g^{\prime}(x) $$ pour tout $$ \left.x \in\right] 0 ;+\infty[ $$ b) Vérifier que pour tout $$ x \in] 0 ;+\infty\left[g^{\prime}(x)=(1+\ln x)(3+\ln x)\right. $$ c) Etudier le signe de $$ g^{\prime}(x) $$ suivant lês valeurs de $$ x $$ et en déduirele sens de variation de g.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**PROBLÈME 1 - Partie A** Soit $$ g $$ la fonction définie sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ par : $$ g(x) = x(1 + \ln x)^2 - 1 $$ Nous allons traiter les différentes questions posées. --- ### 1. a) Calculer $$ g^{\prime}(x) $$ pour tout $$ x \in ]0 ; +\infty[ $$ Pour calculer la dérivée de $$ g(x) $$, nous appliquons les règles de dérivation des fonctions composées et des produits. $$ g(x) = x(1 + \ln x)^2 - 1 $$ Calculons la dérivée de chaque terme séparément. 1. **Dérivée de $$ x(1 + \ln x)^2 $$ :** Utilisons la règle du produit : $$ \frac{d}{dx}\left[ x(1 + \ln x)^2 \right] = \frac{d}{dx}(x) \cdot (1 + \ln x)^2 + x \cdot \frac{d}{dx}\left[ (1 + \ln x)^2 \right] $$ Calculons chaque partie : - $$ \frac{d}{dx}(x) = 1 $$ - $$ \frac{d}{dx}\left[ (1 + \ln x)^2 \right] = 2(1 + \ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = 2(1 + \ln x) \cdot \frac{1}{x} $$ Ainsi : $$ \frac{d}{dx}\left[ x(1 + \ln x)^2 \right] = 1 \cdot (1 + \ln x)^2 + x \cdot \left( 2(1 + \ln x) \cdot \frac{1}{x} \right) $$ $$ = (1 + \ln x)^2 + 2(1 + \ln x) $$ 2. **Dérivée de $$-1$$ :** $$ \frac{d}{dx}(-1) = 0 $$ Ainsi, la dérivée totale $$ g^{\prime}(x) $$ est : $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)^2 + 2(1 + \ln x) $$ --- ### 1. b) Vérifier que pour tout $$ x \in ]0 ; +\infty[ $$, $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ Simplifions l'expression obtenue pour $$ g^{\prime}(x) $$ : $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)^2 + 2(1 + \ln x) $$ $$ = (1 + \ln x)(1 + \ln x) + 2(1 + \ln x) $$ $$ = (1 + \ln x)\left[ (1 + \ln x) + 2 \right] $$ $$ = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ Ainsi, nous avons bien : $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ Ce qui vérifie l'égalité demandée. --- ### 1. c) Étudier le signe de $$ g^{\prime}(x) $$ selon les valeurs de $$ x $$ et en déduire le sens de variation de $$ g $$ Pour étudier le signe de $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$, analysons les signes des facteurs $$ (1 + \ln x) $$ et $$ (3 + \ln x) $$. **Étape 1 : Trouver les valeurs de $$ x $$ où chaque facteur s'annule.** 1. $$ 1 + \ln x = 0 $$ $$ \ln x = -1 $$ $$ x = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0,3679 $$ 2. $$ 3 + \ln x = 0 $$ $$ \ln x = -3 $$ $$ x = e^{-3} = \frac{1}{e^{3}} \approx 0,0498 $$ **Étape 2 : Déterminer le signe de chaque facteur dans les intervalles déterminés par ces points.** Les points critiques sont $$ x = \frac{1}{e^{3}} $$ et $$ x = \frac{1}{e} $$. Nous avons donc les intervalles suivants : 1. $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ 2. $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ 3. $$ x > \frac{1}{e} $$ Analysons les signes : - **Pour $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** - $$ \ln x < -3 $$ donc $$ 1 + \ln x < 1 - 3 = -2 < 0 $$ - $$ 3 + \ln x < 3 - 3 = 0 $$ - **Produit :** $$ (-) \times (-) = + $$ - **Pour $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** - $$ -3 < \ln x < -1 $$ - $$ 1 + \ln x < 0 $$ - $$ 3 + \ln x < 3 -1 = 2 > 0 $$ (car $$ \ln x > -3 $$, donc $$ 3 + \ln x > 0 $$) - **Produit :** $$ (-) \times (+) = - $$ - **Pour $$ x > \frac{1}{e} $$ :** - $$ \ln x > -1 $$ - $$ 1 + \ln x > 0 $$ - $$ 3 + \ln x > 0 $$ - **Produit :** $$ (+) \times (+) = + $$ **Résumé du signe de $$ g^{\prime}(x) $$ :** - **$$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** $$ g^{\prime}(x) > 0 $$ - **$$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** $$ g^{\prime}(x) < 0 $$ - **$$ x > \frac{1}{e} $$ :** $$ g^{\prime}(x) > 0 $$ **Étape 3 : Déduire le sens de variation de $$ g $$.** - **Lorsque $$ g^{\prime}(x) > 0 $$ :** $$ g $$ est **croissante**. - **Lorsque $$ g^{\prime}(x) < 0 $$ :** $$ g $$ est **décroissante**. **Conclusion sur le sens de variation :** - **Pour $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** $$ g $$ est croissante. - **Pour $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est décroissante. - **Pour $$ x > \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est croissante. --- **PROBLÈME 1 - Partie A** Soit $$ g $$ la fonction définie sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ par : $$ g(x) = x(1 + \ln x)^2 - 1 $$ 1. **a) Calculer $$ g^{\prime}(x) $$ :** $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ 2. **b) Vérification :** $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ 3. **c) Étude du signe de $$ g^{\prime}(x) $$ et sens de variation de $$ g $$ :** - **Pour $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** $$ g $$ est croissante. - **Pour $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est décroissante. - **Pour $$ x > \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est croissante. **Résumé :** - $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ - $$ g $$ est croissante sur $$ ]0 ; \frac{1}{e^{3}}[ $$ et $$ ]\frac{1}{e} ; +\infty[ $$ - $$ g $$ est décroissante sur $$ ]\frac{1}{e^{3}} ; \frac{1}{e}[ $$

PROBLEME 1
Partie A
Soit g la fonction numérique définie sur par

On admettra que g est dérivable sur
a) Calculer pour tout
b) Vérifier que pour tout
c) Etudier le signe de suivant lês valeurs de et en déduirele sens de
variation de g.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

PROBLEME 1 Partie A Soit g la fonction numérique définie sur par On admettra que g est dérivable sur a) Calculer pour tout b) Vérifier que pour tout c) Etudier le signe de suivant lês valeurs de et en déduirele sens de variation de g.