1. Dada la función $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x-a} & ext { si } x
eq 1 \ 2 & ext { si } x=1\end{array} ight. $$ determine a) ¿Para qué valores de la constante $$ a $$ la función es continua en $$ x=1 $$ ? b) ¿Cuáles son los valores de $$ a $$ para los cuales la función tiene una discontinuidad inevitable en $$ x=1 $$ ? ¿Y para que la discontinuidad en $$ x=1 $$ sea evitable?

Question

1. Dada la función $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x-a} & 	ext { si } x 
eq 1 \ 2 & 	ext { si } x=1\end{array}ight. $$ determine a) ¿Para qué valores de la constante $$ a $$ la función es continua en $$ x=1 $$ ? b) ¿Cuáles son los valores de $$ a $$ para los cuales la función tiene una discontinuidad inevitable en $$ x=1 $$ ? ¿Y para que la discontinuidad en $$ x=1 $$ sea evitable?

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$$
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{x-a} & \text{si } x \neq 1,\[6mm]
2 & \text{si } x=1.
\end{cases}
$$

Para analizar la continuidad en $$ x=1 $$ examinamos el comportamiento de $$ f(x) $$ cuando $$ x\to 1 $$.

**a) Continuidad en $$ x=1 $$:**

La función $$ f $$ es continua en $$ x=1 $$ si se cumple que

$$
\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)=2.
$$

Dado que para $$ x\neq 1 $$ tenemos $$ f(x)=\frac{1}{x-a} $$, calculamos la siguiente cantidad (asumiendo que $$ 1-a \neq 0 $$, es decir, $$ a\neq1 $$):

$$
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-a}=\frac{1}{1-a}.
$$

Para que la función sea continua debemos tener

$$
\frac{1}{1-a}=2.
$$

Resolviendo la ecuación:

$$
\frac{1}{1-a}=2 \quad \Longrightarrow \quad 1=2(1-a) \quad \Longrightarrow \quad 1=2-2a,
$$
$$
2a=2-1=1 \quad \Longrightarrow \quad a=\frac{1}{2}.
$$

Por lo tanto, la función es continua en $$ x=1 $$ si y solo si

$$
a=\frac{1}{2}.
$$

---

**b) Discontinuidad inevitable y evitable en $$ x=1 $$:**

Recordemos que:

- Una discontinuidad es *evitable* (o removible) cuando el límite existe y es finito, pero el valor de la función no coincide con ese límite. En estos casos, redefiniendo $$ f(1) $$ como el límite, se elimina la discontinuidad.
- Una discontinuidad es *inevitable* (o esencial) cuando el límite no existe o es infinito, de manera que no se puede “arreglar” la función con una redefinición puntual.

Para $$ x\neq1 $$ tenemos $$ f(x)=\frac{1}{x-a} $$. Analicemos el límite en $$ x=1 $$:

1. **Cuando $$ a\neq1 $$:**

El límite es

$$
   \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-a}=\frac{1}{1-a}.
   $$

- Si además $$ a=\frac{1}{2} $$, tenemos que

$$
     \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2,
     $$

coincidiendo con $$ f(1)=2 $$; en este caso, la función es continua (no hay discontinuidad).

- Para $$ a\neq1 $$ y $$ a\neq\frac{1}{2} $$, el límite existe y es finito, pero

$$
     \frac{1}{1-a}\neq 2.
     $$

En estos casos, la función presenta una discontinuidad en $$ x=1 $$ que es *evitable*, ya que redefiniendo $$ f(1) $$ como $$ \frac{1}{1-a} $$ se lograría continuidad.

2. **Cuando $$ a=1 $$:**

En este caso, para $$ x\neq1 $$ se tiene

$$
   f(x)=\frac{1}{x-1}.
   $$

El límite cuando $$ x\to 1 $$ es:

$$
   \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1},
   $$

el cual diverge (tiende a $$ +\infty $$ o $$ -\infty $$ dependiendo de la dirección de aproximación) y, por tanto, no existe un valor finito. Esto implica una discontinuidad *inevitable* en $$ x=1 $$ que no se puede “arreglar” con una simple redefinición de $$ f(1) $$.

Resumiendo:

- La función es continua en $$ x=1 $$ si y solo si $$ a=\frac{1}{2} $$.

- La discontinuidad en $$ x=1 $$ es inevitable cuando $$ a=1 $$.

- La discontinuidad en $$ x=1 $$ es evitable (removable) cuando $$ a\neq 1 $$ y $$ a\neq\frac{1}{2} $$.
**a) La función es continua en $$ x=1 $$ si $$ a=\frac{1}{2} $$.** **b)** - **Discontinuidad inevitable en $$ x=1 $$:** Si $$ a=1 $$. - **Discontinuidad evitable en $$ x=1 $$:** Si $$ a\neq1 $$ y $$ a\neq\frac{1}{2} $$.

Dada la función determine
a) ¿Para qué valores de la constante la función es continua en ?
b) ¿Cuáles son los valores de para los cuales la función tiene una discontinuidad inevitable en ?
¿Y para que la discontinuidad en sea evitable?

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