66 Um gás contido em um sistema pistão-cilindro é submetido a um processo com a relação entre pressão e volume especifico $$ p \mathrm{y}^{1,2}= $$ constante. A massa do gás é $$ 0,4 \mathrm{lb}(0,18 \mathrm{~kg}) $$ e os seguintes dados são conhecidos: $$ p_{1}=160 \mathrm{lbf} / \mathrm{m}^{2}(113,16 \mathrm{kPa}), V_{1}= $$ $$ 1 \mathrm{ft}^{3}(28,32 \mathrm{~L}), p_{2}=390 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}(2688,96 \mathrm{kPa}) $$. Durante o processo, a transferência de calor do gás é $$ 2,1 \mathrm{Btu}(2,22 \mathrm{~kJ}) $$. Desconsidere as variações de energia cinética e potencial e determine a variação de energia interna especifica do gás, em Btu/lb.

Question

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Para determinar a variação da energia interna específica ($$\Delta u$$) do gás, seguiremos os passos abaixo utilizando a primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado:

### **1. Primeira Lei da Termodinâmica**
$$
\Delta U = Q - W
$$
Onde:
- $$\Delta U$$ é a variação da energia interna.
- $$Q$$ é a transferência de calor.
- $$W$$ é o trabalho realizado pelo sistema.

### **2. Determinação do Trabalho $$W$$**

O processo segue uma relação polinomial $$p V^n = \text{constante}$$, onde $$n = 1,2$$.

A expressão para o trabalho em um processo polinomial é:
$$
W = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1 - n}
$$

**Passos para calcular $$W$$:**

1. **Conversão das Unidades de Pressão:**
   - $$p_1 = 160 \, \text{lb_f/m}^2 \approx 0,1032 \, \text{lb_f/in}^2$$
   - $$p_2 = 390 \, \text{lb_f/in}^2$$

2. **Determinação de $$V_2$$ usando a relação $$p V^n = \text{constante}$$:**
$$
V_2 = V_1 \left( \frac{p_1}{p_2} \right)^{1/n} = 1 \, \text{ft}^3 \left( \frac{0,1032}{390} \right)^{1/1,2} \approx 0,001043 \, \text{ft}^3
$$

3. **Cálculo do Trabalho $$W$$:**
$$
W = \frac{(390 \times 144 \, \text{lb_f/ft}^2 \times 0,001043 \, \text{ft}^3) - (0,1032 \times 144 \, \text{lb_f/ft}^2 \times 1 \, \text{ft}^3)}{1 - 1,2} \approx -0,281 \, \text{Btu}
$$

### **3. Cálculo da Variação da Energia Interna $$\Delta U$$**

Dado que a transferência de calor $$Q = 2,1 \, \text{Btu}$$ é do gás (saída), consideramos $$Q = -2,1 \, \text{Btu}$$.

$$
\Delta U = Q - W = -2,1 \, \text{Btu} - (-0,281 \, \text{Btu}) = -1,819 \, \text{Btu}
$$

### **4. Determinação da Variação da Energia Interna Específica $$\Delta u$$**

Com a massa do gás $$m = 0,4 \, \text{lb}$$:
$$
\Delta u = \frac{\Delta U}{m} = \frac{-1,819 \, \text{Btu}}{0,4 \, \text{lb}} \approx -4,55 \, \text{Btu/lb}
$$

### **Resposta Final**

A variação da energia interna específica do gás é aproximadamente **–4,55  Btu/lb**.
A variação da energia interna específica do gás é de aproximadamente **–4,55  Btu/lb**.

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