Zadanie 12. \( (0-1) \) Do wykresu funkcji \( f \) określonej wzorem \( f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{2}+q \), należy punkt \( A=(-3,5) \). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wartości funkcji \( f \) jest przedział: \( \begin{array}{llll}\text { A. }\langle 1 ;+\infty) & \text { B. }\langle 5 ;+\infty) & \text { C. }(-\infty ;-3\rangle & \text { D. }\langle-3 ; \infty)\end{array} \)

Zacznijmy od analizy funkcji \( f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^{2} + q \). Funkcja ta opisuje parabolę, której wierzchołek znajduje się w punkcie \( (1, q) \). Dlatego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział, który zaczyna się od wartości wierzchołka \( q \) i rozciąga się w górę do \( +\infty \). Zauważmy, że ponieważ punkt \( A=(-3, 5) \) należy do wykresu funkcji, musimy obliczyć wartość \( f(-3) \), aby znaleźć odpowiednią wartość \( q \). Obliczając: \[ f(-3) = \frac{1}{2}((-3)-1)^{2} + q = \frac{1}{2}(16) + q = 8 + q. \] Ponieważ ten punkt ma współrzędną \( y \) równą 5, mamy równanie: \[ 8 + q = 5 \implies q = -3. \] Wówczas funkcja przybiera postać \( f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^{2} - 3 \), więc wierzchołek znajduje się w punkcie \( (1, -3) \), a zbiór wartości funkcji to przedział \( \langle -3; +\infty) \). Odpowiedź: D. \( \langle -3; +\infty) \)