Expliciter les termes des sommations suivantes. $$ \begin{array}{ll} ext { a) } \sum_{k=3}^{9} \frac{k}{k^{2}+1} & ext { b) } \sum_{j=2}^{5}\left(4 j^{3}-1 ight)\end{array} $$

Question

Expliciter les termes des sommations suivantes. $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } \sum_{k=3}^{9} \frac{k}{k^{2}+1} & 	ext { b) } \sum_{j=2}^{5}\left(4 j^{3}-1ight)\end{array} $$

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Bien sûr, explicitons les termes des sommations données.

### a) $$ \sum_{k=3}^{9} \frac{k}{k^{2}+1} $$

Cette sommation s'étend de $$ k = 3 $$ à $$ k = 9 $$. En développant chaque terme, on obtient :

$$
\frac{3}{3^{2} + 1} + \frac{4}{4^{2} + 1} + \frac{5}{5^{2} + 1} + \frac{6}{6^{2} + 1} + \frac{7}{7^{2} + 1} + \frac{8}{8^{2} + 1} + \frac{9}{9^{2} + 1}
$$

Soit de manière détaillée :

$$
\frac{3}{10} + \frac{4}{17} + \frac{5}{26} + \frac{6}{37} + \frac{7}{50} + \frac{8}{65} + \frac{9}{82}
$$

### b) $$ \sum_{j=2}^{5}\left(4 j^{3}-1\right) $$

Cette sommation s'étend de $$ j = 2 $$ à $$ j = 5 $$. En développant chaque terme, on obtient :

$$
\left(4 \times 2^{3} - 1\right) + \left(4 \times 3^{3} - 1\right) + \left(4 \times 4^{3} - 1\right) + \left(4 \times 5^{3} - 1\right)
$$

Calculons chaque terme :

$$
(4 \times 8 - 1) + (4 \times 27 - 1) + (4 \times 64 - 1) + (4 \times 125 - 1) = 31 + 107 + 255 + 499
$$

Ainsi, la sommation explicite est :

$$
31 + 107 + 255 + 499
$$
a) $$ \frac{3}{10} + \frac{4}{17} + \frac{5}{26} + \frac{6}{37} + \frac{7}{50} + \frac{8}{65} + \frac{9}{82} $$ b) $$ 31 + 107 + 255 + 499 $$

Expliciter les termes des sommations suivantes.

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