Si fissi un riferimento $$ R C(O x y z) $$ dello spazio, con base ortonormale $$ \mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} $$. Il piano passante per $$ A(1,0,-1) $$, parallelo al vettore $$ \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k} $$, e perpendicolare al piano $$ \alpha: x+y-2 z+4= $$ 0 ammette equazione: A. $$ 2 x+y+z-1=0 $$ B. $$ x+y+z=0 $$ C. $$ x-2 y+z=0 $$ D. $$ x+2 y+2 z+1=0 $$ A

Question

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Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones dadas:

1. Un punto $$ A(1,0,-1) $$ por el que pasa el plano.
2. Un vector director del plano que es $$ \vec{d} = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} $$.
3. El plano es perpendicular al plano $$ \alpha: x + y - 2z + 4 = 0 $$.

### Paso 1: Determinar el vector normal del plano $$ \alpha $$

La ecuación del plano $$ \alpha $$ se puede escribir en la forma general $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$, donde $$ A = 1 $$, $$ B = 1 $$, $$ C = -2 $$ y $$ D = 4 $$. El vector normal $$ \vec{n_\alpha} $$ del plano $$ \alpha $$ es:

$$
\vec{n_\alpha} = (1, 1, -2)
$$

### Paso 2: Encontrar el vector normal del nuevo plano

Dado que el nuevo plano es perpendicular al plano $$ \alpha $$, su vector normal $$ \vec{n} $$ debe ser ortogonal a $$ \vec{n_\alpha} $$. Además, el plano es paralelo al vector $$ \vec{d} $$. Por lo tanto, el vector normal del nuevo plano puede ser encontrado usando el producto cruzado entre $$ \vec{d} $$ y $$ \vec{n_\alpha} $$.

Calculamos el producto cruzado:

$$
\vec{d} = (1, -2, 1)
$$
$$
\vec{n_\alpha} = (1, 1, -2)
$$

### Paso 3: Calcular el producto cruzado

El producto cruzado $$ \vec{n} = \vec{d} \times \vec{n_\alpha} $$ se calcula como sigue:

$$
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & -2 & 1 \
1 & 1 & -2
\end{vmatrix}
$$

Calculamos el determinante:

$$
\vec{n} = \vec{i}((-2)(-2) - (1)(1)) - \vec{j}((1)(-2) - (1)(1)) + \vec{k}((1)(1) - (-2)(1))
$$
$$
= \vec{i}(4 - 1) - \vec{j}(-2 - 1) + \vec{k}(1 + 2)
$$
$$
= 3\vec{i} + 3\vec{j} + 3\vec{k}
$$
$$
= (3, 3, 3)
$$

### Paso 4: Ecuación del plano

La ecuación del plano que pasa por el punto $$ A(1,0,-1) $$ y tiene el vector normal $$ \vec{n} = (3, 3, 3) $$ se puede escribir como:

$$
3(x - 1) + 3(y - 0) + 3(z + 1) = 0
$$

Simplificando:

$$
3x + 3y + 3z - 3 + 3 = 0
$$
$$
3x + 3y + 3z = 0
$$
$$
x + y + z = 0
$$

### Paso 5: Seleccionar la respuesta correcta

La ecuación que hemos encontrado es $$ x + y + z = 0 $$, que corresponde a la opción:

**B. $$ x + y + z = 0 $$**

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.
La ecuación del plano es $$ x + y + z = 0 $$, por lo que la respuesta correcta es **B. $$ x + y + z = 0 $$**.

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