8Gegeven zijn de punten $$ A(-1,3,4) $$ en $$ B(7,9,0) $$ a. Noem twee normalvectoren van de drager van $$ \overrightarrow{A B} $$. b. Stel een vectorvoorstelling op van het loodvlak uit $$ O $$ op $$ k $$. c. $$ M $$ is het midden van het lijnstuk $$ A B $$. Stel een vectorvoorstelling op van het loodvlak op $$ k $$ door $$ M $$. eidelloodvlak Opmerking: het biji c genoemde vlak wordt het middelloodvlak van het lijnstuk $$ A B $$ genoemd.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Laten we de vragen stap voor stap beantwoorden.

### a. Noem twee normalvectoren van de drager van $$ \overrightarrow{AB} $$.

Eerst berekenen we de vector $$ \overrightarrow{AB} $$:

$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (7 - (-1), 9 - 3, 0 - 4) = (8, 6, -4)
$$

Een normalvector van de drager van $$ \overrightarrow{AB} $$ is een vector die orthogonaal is aan $$ \overrightarrow{AB} $$. We kunnen bijvoorbeeld de vectoren $$ \mathbf{n_1} = (6, -8, 0) $$ en $$ \mathbf{n_2} = (4, 0, 8) $$ kiezen. Beide zijn orthogonaal aan $$ \overrightarrow{AB} $$ omdat hun inproduct met $$ \overrightarrow{AB} $$ gelijk is aan nul.

### b. Stel een vectorvoorstelling op van het loodvlak uit $$ O $$ op $$ k $$.

De drager van de lijn $$ k $$ is de lijn die door de punten $$ A $$ en $$ B $$ gaat. We hebben al de richtingsvector $$ \overrightarrow{AB} = (8, 6, -4) $$.

Een normaalvector van het loodvlak door de oorsprong $$ O(0, 0, 0) $$ is bijvoorbeeld $$ \mathbf{n_1} = (6, -8, 0) $$. De vergelijking van het loodvlak door $$ O $$ met normaalvector $$ \mathbf{n_1} $$ is:

$$
6x - 8y + 0z = 0
$$

Dit kan worden herschreven als:

$$
6x - 8y = 0 \quad \text{of} \quad 3x - 4y = 0
$$

De vectorvoorstelling van het loodvlak kan worden gegeven door:

$$
\mathbf{r}(s, t) = (s, \frac{3}{4}s + t, t)
$$

waarbij $$ s $$ en $$ t $$ vrij gekozen kunnen worden.

### c. $$ M $$ is het midden van het lijnstuk $$ AB $$. Stel een vectorvoorstelling op van het loodvlak op $$ k $$ door $$ M $$.

Eerst berekenen we het midden $$ M $$ van het lijnsegment $$ AB $$:

$$
M = \left( \frac{-1 + 7}{2}, \frac{3 + 9}{2}, \frac{4 + 0}{2} \right) = \left( 3, 6, 2 \right)
$$

Nu willen we het middelloodvlak van het lijnsegment $$ AB $$ vinden. De normaalvector van het middelloodvlak is de vector $$ \overrightarrow{AB} = (8, 6, -4) $$.

De vergelijking van het middelloodvlak kan worden opgesteld met behulp van het punt $$ M(3, 6, 2) $$ en de normaalvector $$ \overrightarrow{AB} $$:

$$
8(x - 3) + 6(y - 6) - 4(z - 2) = 0
$$

Dit vereenvoudigt tot:

$$
8x + 6y - 4z = 8 \cdot 3 + 6 \cdot 6 - 4 \cdot 2
$$
$$
8x + 6y - 4z = 24 + 36 - 8 = 52
$$

De vectorvoorstelling van het middelloodvlak kan worden gegeven door:

$$
\mathbf{r}(s, t) = (3, 6, 2) + s(8, 6, -4) + t(a, b, c)
$$

waarbij $$ (a, b, c) $$ een vector is die orthogonaal is aan $$ \overrightarrow{AB} $$ en $$ s, t $$ vrij gekozen kunnen worden.

Bijvoorbeeld, als we $$ (a, b, c) = (6, -8, 0) $$ kiezen, dan krijgen we:

$$
\mathbf{r}(s, t) = (3, 6, 2) + s(8, 6, -4) + t(6, -8, 0)
$$

Dit geeft ons de vectorvoorstelling van het middelloodvlak door $$ M $$.
### a. Twee normalvectoren van de drager van $$ \overrightarrow{AB} $$ zijn $$ \mathbf{n_1} = (6, -8, 0) $$ en $$ \mathbf{n_2} = (4, 0, 8) $$. ### b. Vectorvoorstelling van het loodvlak uit $$ O $$ op $$ k $$: $$ \mathbf{r}(s, t) = (s, \frac{3}{4}s + t, t) $$. ### c. Vectorvoorstelling van het middelloodvlak door $$ M $$: $$ \mathbf{r}(s, t) = (3, 6, 2) + s(8, 6, -4) + t(6, -8, 0) $$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

a. Twee normalvectoren van de drager van zijn en .

b. Vectorvoorstelling van het loodvlak uit op : .

c. Vectorvoorstelling van het middelloodvlak door : .

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions