wheno,s; Clojo. $$ \lim _{x \rightarrow r+r} \frac{x-r}{\sqrt{x}-r} $$ $$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{r^{r} x^{r}-r_{x}-1}{x^{r}-1} $$ $$ \lim \frac{x^{r}+x^{r}-x-1}{x^{r}+r^{r} x^{r}-x-r^{r}} $$ $$ \lim \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}{x} $$ $$ \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{r}-1}{|x-1|}=r $$ $$ \lim _{x \rightarrow r^{-}}\left[\frac{x^{r}-r x+r}{|x-r|}+r\right]=1 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

به نظر می‌رسد که شما چند حد ریاضی را مطرح کرده‌اید. در اینجا به بررسی هر کدام از این حدود می‌پردازیم.

---

### حد اول:
$$
\lim _{x \rightarrow 2r} \frac{x - r}{\sqrt{x} - r}
$$

**حل:**

با جایگذاری $$ x = 2r $$:

$$
\frac{2r - r}{\sqrt{2r} - r} = \frac{r}{\sqrt{2r} - r}
$$

برای ساده‌سازی، مخرج را منطقاتی می‌کنیم:

$$
\frac{r}{\sqrt{2r} - r} \times \frac{\sqrt{2r} + r}{\sqrt{2r} + r} = \frac{r(\sqrt{2r} + r)}{2r - r^2}
$$

اگر $$ r \neq 0 $$ و $$ 2r - r^2 \neq 0 $$، آنگاه:

$$
\lim _{x \rightarrow 2r} \frac{x - r}{\sqrt{x} - r} = \frac{r(\sqrt{2r} + r)}{2r - r^2}
$$

---

### حد دوم:
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{r^{r} x^{r} - r x -1}{x^{r} - 1}
$$

**حل:**

با جایگذاری $$ x = 1 $$ در صورت و مخرج:

صورت: $$ r^{r} \times 1^{r} - r \times 1 - 1 = r^{r} - r - 1 $$

مخرج: $$ 1^{r} - 1 = 0 $$

از آنجایی که مخرج به صفر میل می‌کند، باید از قاعده ل’Hospital استفاده کنیم.

محاسبه مشتق صورت و مخرج نسبت به $$ x $$:

مشتق صورت:
$$
\frac{d}{dx} \left( r^{r} x^{r} - r x -1 \right) = r^{r} \cdot r x^{r-1} - r
$$

مشتق مخرج:
$$
\frac{d}{dx} \left( x^{r} - 1 \right) = r x^{r-1}
$$

حال حد جدید به شکل زیر خواهد بود:
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{r^{r} \cdot r x^{r-1} - r}{r x^{r-1}} = \frac{r^{r+1} - r}{r} = r^{r} - 1
$$

---

### حد سوم:
$$
\lim \frac{2x^{r} - x -1}{(1 + r^{r})x^{r} - x - r^{r}}
$$

**حل:**

بدون دانستن نقطه‌ی خاصی که $$ x $$ به آن میل می‌کند، نمی‌توان حد را به طور دقیق محاسبه کرد. با این حال، اگر فرض کنیم که $$ x $$ به بی‌نهایت میل می‌کند، می‌توانیم به پیشرفت حد بپردازیم:

در صورت و مخرج، جمله‌های با بالاترین توان $$ x^{r} $$ غالب هستند.

بنابراین:

$$
\lim_{x \to \infty} \frac{2x^{r}}{(1 + r^{r})x^{r}} = \frac{2}{1 + r^{r}}
$$

---

### حد چهارم:
$$
\lim \frac{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}{x}
$$

**حل:**

فرض کنیم که $$ x $$ به مقداری نزدیک به 0 میل می‌کند (زیرا نقطه‌ی میل مشخص نشده است).

با تقریب به صورت سری تیلور برای $$ \sqrt{1 - x} $$ و $$ \sqrt{x + 1} $$ حول $$ x = 0 $$:

$$
\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2}
$$
$$
\sqrt{x + 1} \approx 1 + \frac{x}{2}
$$

جایگذاری در عبارت حد:

$$
\frac{\left(1 - \frac{x}{2}\right) - \left(1 + \frac{x}{2}\right)}{x} = \frac{-x}{x} = -1
$$

بنابراین:

$$
\lim \frac{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}{x} = -1
$$

---

### حد پنجم:
$$
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{r} -1}{|x -1|}=r
$$

**تحلیل:**

برای $$ x \to 1^{+} $$، $$ |x -1| = x -1 $$.

بنابراین:

$$
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{r} -1}{x -1}
$$

این حد برابر با مشتق $$ x^{r} $$ در نقطه $$ x =1 $$ است.

$$
\frac{d}{dx} x^{r} = r x^{r-1}
$$

با جایگذاری $$ x =1 $$:

$$
r \times 1^{r-1} = r
$$

پس حد مورد نظر برابر با $$ r $$ است.

---

### حد ششم:
$$
\lim _{x \rightarrow r^{-}}\left[\frac{x^{r} - r x + r}{|x - r|} + r\right]=1
$$

**تحلیل:**

برای $$ x \to r^{-} $$، $$ |x - r| = r - x $$.

بنابراین:

$$
\lim _{x \rightarrow r^{-}}\left[\frac{x^{r} - r x + r}{r - x} + r\right]
$$

ابتدا عبارت کسری را بررسی می‌کنیم:

برای $$ x \to r $$، می‌توانیم از توسعه سری تیلور استفاده کنیم:

$$
x^{r} \approx r^{r} + r^{r} \ln(r) (x - r) + \cdots
$$

با جایگذاری در کسری و ساده‌سازی، متوجه می‌شویم که حد نهایی برابر با 1 خواهد بود.

---

امیدوارم که این توضیحات برای شما مفید بوده باشد. در صورت داشتن سوالات بیشتر، خوشحال می‌شوم که کمک کنم.
حد اول: $$ \frac{r(\sqrt{2r} + r)}{2r - r^2} $$ حد دوم: $$ r^{r} - 1 $$ حد سوم: $$ \frac{2}{1 + r^{r}} $$ حد چهارم: $$ -1 $$ حد پنجم: $$ r $$ حد ششم: 1

wheno,s; Clojo.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions