ENUNCIADO: Determine la ecuación de la elipse centrada en el origen conociendo
sus focos y vértices como se muestra en la figura. NOTA: recuerde que la ecuación
canónica de la elipse centrada en C( está determinada por la expresión
donde a y b son las distancias medidas desde el centro de la
elipse hasta los vértices de los ejes e respectivamente:

Ask by Davison Graham. in Colombia

Jan 19,2025

Question

ENUNCIADO: Determine la ecuación de la elipse centrada en el origen conociendo
sus focos y vértices como se muestra en la figura. NOTA: recuerde que la ecuación
canónica de la elipse centrada en C( está determinada por la expresión
donde a y b son las distancias medidas desde el centro de la
elipse hasta los vértices de los ejes e respectivamente:

Ask by Davison Graham. in Colombia

Jan 19,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, para determinar la ecuación de una elipse centrada en el origen $$(0,0)$$ dadas sus focos y vértices, podemos seguir una serie de pasos metodológicos. A continuación, se detalla el procedimiento:

### 1. **Identificar el Eje Mayor y el Eje Menor**

- **Eje Mayor:** Es el eje que pasa por los dos vértices de la elipse. La distancia desde el centro hasta cada vértice es $$a$$.
- **Eje Menor:** Es perpendicular al eje mayor y pasa por el centro. La distancia desde el centro hasta cada punta del eje menor es $$b$$.

### 2. **Determinar la Orientación de la Elipse**

- **Horizontal:** Si los vértices están alineados a lo largo del eje $$x$$, el eje mayor es horizontal.
- **Vertical:** Si los vértices están alineados a lo largo del eje $$y$$, el eje mayor es vertical.

### 3. **Calcular la Distancia de los Focos al Centro ($$c$$)**

La relación entre $$a$$, $$b$$ y $$c$$ viene dada por la ecuación:
$$ c^2 = a^2 - b^2 $$
Donde:
- $$c$$ es la distancia desde el centro hasta cada foco.
- $$a$$ y $$b$$ son, como se definieron anteriormente.

### 4. **Determinar los Valores de $$a$$ y $$b$$**
- **Si conoces los vértices:** La distancia desde el centro hasta un vértice te da directamente el valor de $$a$$.
- **Si conoces los focos:** La distancia desde el centro hasta un foco te da el valor de $$c$$, y puedes usar la relación anterior para encontrar $$b$$.

### 5. **Escribir la Ecuación Canónica de la Elipse**

Dependiendo de la orientación de la elipse, la ecuación canónica es:

- **Eje Mayor Horizontal:**
  $$
  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
  $$
  
- **Eje Mayor Vertical:**
  $$
  \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
  $$

### 6. **Ejemplo Práctico**

Supongamos que una elipse está centrada en $$(0,0)$$, tiene sus vértices en $$(\pm5, 0)$$ y sus focos en $$(\pm3, 0)$$.

1. **Identificación de Ejes:**
   - Los vértices están a lo largo del eje $$x$$, por lo que el eje mayor es horizontal.
   
2. **Valores de $$a$$ y $$c$$:**
   - $$a = 5$$ (distancia desde el centro hasta un vértice).
   - $$c = 3$$ (distancia desde el centro hasta un foco).
   
3. **Cálculo de $$b$$:**
   $$
   c^2 = a^2 - b^2 \
   3^2 = 5^2 - b^2 \
   9 = 25 - b^2 \
   b^2 = 25 - 9 \
   b^2 = 16 \
   b = 4
   $$
   
4. **Ecuación de la Elipse:**
   $$
   \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \
   \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1
   $$

### 7. **Aplicación General**

Si tienes otros valores específicos para los focos y vértices, simplemente sustituye esos valores en los pasos anteriores para encontrar la ecuación de la elipse correspondiente.

**Nota:** Es esencial identificar correctamente la orientación de la elipse para escribir la ecuación canónica adecuada.
Para determinar la ecuación de una elipse centrada en el origen, sigue estos pasos: 1. **Identifica el eje mayor y el eje menor** basándote en la posición de los vértices. 2. **Determina la orientación** de la elipse (horizontal o vertical). 3. **Calcula la distancia $$c$$** desde el centro hasta cada foco. 4. **Encuentra $$a$$ y $$b$$** usando la relación $$c^2 = a^2 - b^2$$. 5. **Escribe la ecuación canónica**: - Si el eje mayor es horizontal: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ - Si el eje mayor es vertical: $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$ **Ejemplo:** Si los vértices están en $$(\pm5, 0)$$ y los focos en $$(\pm3, 0)$$: - Eje mayor horizontal. - $$a = 5$$, $$c = 3$$. - $$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$$, así $$b = 4$$. - Ecuación: $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$. **Nota:** Asegúrate de identificar correctamente la orientación para la ecuación correcta.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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