5. $$ f(x)=\int x^{4} \sqrt{3+x^{5}} d x $$

Question

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Para resolver la integral

$$ f(x) = \int x^{4} \sqrt{3 + x^{5}} \, dx $$

seguimos los siguientes pasos utilizando el método de **sustitución**:

1. **Elegir una sustitución adecuada:**

Observamos que dentro de la raíz tenemos $$3 + x^{5}$$, y la derivada de $$x^{5}$$ es $$5x^{4}$$, que aparece multiplicando la raíz. Por lo tanto, hacemos:

$$ u = 3 + x^{5} $$

2. **Calcular la derivada de $$u$$ respecto a $$x$$:**

$$ \frac{du}{dx} = 5x^{4} $$
   
   De aquí, despejamos $$x^{4} dx$$:

$$ x^{4} dx = \frac{1}{5} du $$

3. **Reescribir la integral en términos de $$u$$:**

Sustituyendo $$u$$ y $$x^{4} dx$$ en la integral original:

$$ f(x) = \int x^{4} \sqrt{3 + x^{5}} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{1/2} \, du $$

4. **Resolver la integral en términos de $$u$$:**

$$ \frac{1}{5} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{15} u^{3/2} + C $$

5. **Sustituir $$u$$ por su expresión original en términos de $$x$$:**

$$ u = 3 + x^{5} $$

Entonces:

$$ f(x) = \frac{2}{15} (3 + x^{5})^{3/2} + C $$

**Respuesta Final:**

$$ f(x) = \frac{2}{15} \left(3 + x^{5}\right)^{\frac{3}{2}} + C $$

donde $$C$$ es la constante de integración.
La integral se resuelve mediante sustitución, resultando en: $$ f(x) = \frac{2}{15} \left(3 + x^{5}\right)^{\frac{3}{2}} + C $$ donde $$C$$ es la constante de integración.

5. \( f(x)=\int x^{4} \sqrt{3+x^{5}} d x \)

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