Exercice 3 $$ : 1,5 $$ Simplifier $$ (2 \cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-2 \sin x)^{2} $$ Exercice 4 $$ : / 2 $$

Question

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### **Exercice 3 : 1,5**

Simplifier $$ (2 \cos x + \sin x)^2 + (\cos x - 2 \sin x)^2 $$.

**Étapes de la simplification :**

1. **Développons chaque carré séparément :**
   
   $$
   (2 \cos x + \sin x)^2 = (2 \cos x)^2 + 2 \cdot 2 \cos x \cdot \sin x + (\sin x)^2 = 4 \cos^2 x + 4 \cos x \sin x + \sin^2 x
   $$
   
   $$
   (\cos x - 2 \sin x)^2 = (\cos x)^2 - 2 \cdot \cos x \cdot 2 \sin x + (2 \sin x)^2 = \cos^2 x - 4 \cos x \sin x + 4 \sin^2 x
   $$

2. **Additionnons les deux expressions développées :**
   
   $$
   (4 \cos^2 x + 4 \cos x \sin x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 4 \cos x \sin x + 4 \sin^2 x)
   $$
   
   $$
   = 4 \cos^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x + 4 \sin^2 x + 4 \cos x \sin x - 4 \cos x \sin x
   $$

3. **Simplifions en regroupant les termes similaires :**
   
   - Terme en $$ \cos^2 x $$ : $$ 4 \cos^2 x + \cos^2 x = 5 \cos^2 x $$
   - Terme en $$ \sin^2 x $$ : $$ \sin^2 x + 4 \sin^2 x = 5 \sin^2 x $$
   - Terme en $$ \cos x \sin x $$ : $$ 4 \cos x \sin x - 4 \cos x \sin x = 0 $$
   
   Donc,
   
   $$
   5 \cos^2 x + 5 \sin^2 x
   $$

4. **Factorisons par 5 :**
   
   $$
   5 (\cos^2 x + \sin^2 x)
   $$

5. **Utilisons l'identité trigonométrique fondamentale $$ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $$ :**
   
   $$
   5 \times 1 = 5
   $$

**Résultat :**

$$
(2 \cos x + \sin x)^2 + (\cos x - 2 \sin x)^2 = 5
$$

---

### **Exercice 4 : / 2**

Il semble qu'il manque la formulation de l'exercice 4, partie 2. Pourriez-vous fournir les détails ou l'énoncé complet de cet exercice afin que je puisse vous aider efficacement ?
### **Exercice 3 : 1,5** Simplifier $$ (2 \cos x + \sin x)^2 + (\cos x - 2 \sin x)^2 $$. **Solution :** 1. **Développons chaque carré :** $$ (2 \cos x + \sin x)^2 = 4 \cos^2 x + 4 \cos x \sin x + \sin^2 x $$ $$ (\cos x - 2 \sin x)^2 = \cos^2 x - 4 \cos x \sin x + 4 \sin^2 x $$ 2. **Additionnons les deux expressions :** $$ 4 \cos^2 x + 4 \cos x \sin x + \sin^2 x + \cos^2 x - 4 \cos x \sin x + 4 \sin^2 x $$ $$ = 5 \cos^2 x + 5 \sin^2 x $$ 3. **Factorisons par 5 :** $$ 5 (\cos^2 x + \sin^2 x) $$ 4. **Utilisons l'identité trigonométrique $$ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $$ :** $$ 5 \times 1 = 5 $$ **Résultat :** $$ (2 \cos x + \sin x)^2 + (\cos x - 2 \sin x)^2 = 5 $$ --- ### **Exercice 4 : / 2** Il manque l'énoncé de l'exercice 4, partie 2. Veuillez fournir les détails complets de cet exercice pour une assistance précise.

Exercice 3 \( : 1,5 \) Simplifier \( (2 \cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-2 \sin x)^{2} \) Exercice 4 \( : / 2 \)

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