ans un repère orthonormé \( (O, I, J) \), on considère les oints \( A(2 ; 8), B(-6 ; 4) \) et \( C(x ;-7) \). Calculer \( x \) pour que le triangle \( A B C \) soit rectangle en \( B \). Calculer les coordonnées du point \( M \), milieu de \( [A C] \). Soit \( D \) le symétrique de \( B \) par rapport à \( M \). Calculer les coordonnées de \( D \).

Résolvons chaque partie du problème étape par étape. ### 1. Calcul de \( x \) pour que le triangle \( ABC \) soit rectangle en \( B \) Pour que le triangle \( ABC \) soit rectangle en \( B \), les vecteurs \( \overrightarrow{BA} \) et \( \overrightarrow{BC} \) doivent être orthogonaux. Calculons ces vecteurs : - \( \overrightarrow{BA} = A - B = (2 - (-6),\ 8 - 4) = (8,\ 4) \) - \( \overrightarrow{BC} = C - B = (x - (-6),\ -7 - 4) = (x + 6,\ -11) \) Le produit scalaire de ces deux vecteurs doit être nul : \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 8(x + 6) + 4(-11) = 0 \] Développons et résolvons pour \( x \) : \[ 8x + 48 - 44 = 0 \\ 8x + 4 = 0 \\ 8x = -4 \\ x = -\frac{1}{2} \] **Ainsi, \( x = -\frac{1}{2} \).** ### 2. Calcul des coordonnées du point \( M \), milieu de \( [AC] \) Avec \( A(2,\ 8) \) et \( C\left(-\frac{1}{2},\ -7\right) \), les coordonnées de \( M \) sont données par : \[ M = \left( \frac{2 + (-\frac{1}{2})}{2},\ \frac{8 + (-7)}{2} \right) = \left( \frac{3}{4},\ \frac{1}{2} \right) \] **Ainsi, \( M\left(\frac{3}{4},\ \frac{1}{2}\right) \).** ### 3. Calcul des coordonnées de \( D \), symétrique de \( B \) par rapport à \( M \) La symétrie par rapport à \( M \) implique que : \[ D = 2M - B \] Calculons chaque composante : \[ 2M = \left(2 \times \frac{3}{4},\ 2 \times \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2},\ 1\right) \] \[ D = \left(\frac{3}{2} - (-6),\ 1 - 4\right) = \left(\frac{3}{2} + 6,\ -3\right) = \left(\frac{15}{2},\ -3\right) \] **Ainsi, \( D\left(\frac{15}{2},\ -3\right) \).**