\( \mathscr{Q}: x^{2}-2 x y+2 y^{2}+2 y z+z^{2}+2 x+2=0 \) Esercizio 3. Trovare centro e raggio della circonferenza \( \mathscr{C}:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y-6 z=1 \\ x+2 y-2 z=0\end{array}\right. \)

Per determinare il **centro** e il **raggio** della circonferenza \( \mathscr{C} \) definita dal sistema: \[ \begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 6z = 1 \\ x + 2y - 2z = 0 \end{cases} \] procediamo nei seguenti passi: ### 1. Rappresentazione Geometrica della Sfera L'equazione della sfera può essere riscritta completando i quadrati: \[ \begin{align*} x^{2} - 4x + y^{2} + 2y + z^{2} - 6z &= 1 \\ (x^{2} - 4x + 4) + (y^{2} + 2y + 1) + (z^{2} - 6z + 9) &= 1 + 4 + 1 + 9 \\ (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} &= 15 \end{align*} \] Quindi, la sfera ha centro \( C(2, -1, 3) \) e raggio \( R = \sqrt{15} \). ### 2. Determinazione del Piano Il secondo elemento del sistema è il piano: \[ x + 2y - 2z = 0 \] ### 3. Trovare il Centro della Circonferenza Il centro della circonferenza \( \mathscr{C} \) è la proiezione del centro della sfera \( C \) sul piano dato. Per calcolare la proiezione, utilizziamo la formula: \[ P = C - \frac{a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \vec{n} \] dove: - \( \vec{n} = (1, 2, -2) \) è il vettore normale al piano, - \( C(2, -1, 3) \), - \( d = 0 \) (perché l'equazione del piano è \( x + 2y - 2z = 0 \)). Calcoliamo: \[ \begin{align*} a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d &= 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 3 + 0 = 2 - 2 - 6 = -6 \\ \frac{-6}{1^{2} + 2^{2} + (-2)^{2}} &= \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3} \\ P &= (2, -1, 3) - \left(-\frac{2}{3}\right) (1, 2, -2) = \left(2 + \frac{2}{3},\ -1 + \frac{4}{3},\ 3 - \frac{4}{3}\right) \\ &= \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right) \end{align*} \] ### 4. Calcolo del Raggio della Circonferenza Il raggio della circonferenza \( \mathscr{C} \) si ottiene dalla relazione: \[ r = \sqrt{R^{2} - D^{2}} \] dove \( D \) è la distanza del centro della sfera al piano: \[ D = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{6}{3} = 2 \] Quindi: \[ r = \sqrt{15 - 4} = \sqrt{11} \] ### **Risultato Finale** La circonferenza \( \mathscr{C} \) ha: - **Centro** in \( \left( \dfrac{8}{3},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{3} \right) \) - **Raggio** \( \sqrt{11} \)