2) \( y=x^{2}+6 x+5 \)

Claro, analicemos la función cuadrática \( y = x^{2} + 6x + 5 \). ### 1. **Forma estándar** La función está expresada en la forma estándar: \[ y = ax^{2} + bx + c \] donde: - \( a = 1 \) - \( b = 6 \) - \( c = 5 \) ### 2. **Factorización** Para factorizar la expresión cuadrática, buscamos dos números que multiplicados den \( ac = 1 \times 5 = 5 \) y sumados den \( b = 6 \). Esos números son 1 y 5: \[ y = x^{2} + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5) \] ### 3. **Raíces (Ceros de la función)** Las raíces se encuentran resolviendo la ecuación \( y = 0 \): \[ (x + 1)(x + 5) = 0 \] \[ x + 1 = 0 \quad \text{o} \quad x + 5 = 0 \] \[ x = -1 \quad \text{o} \quad x = -5 \] Por lo tanto, las raíces son \( x = -1 \) y \( x = -5 \). ### 4. **Vértice de la Parabola** El vértice de una parábola dada por \( y = ax^{2} + bx + c \) se encuentra en: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 1} = -3 \] Para encontrar la coordenada \( y_v \): \[ y_v = (-3)^{2} + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \] Entonces, el vértice es \( (-3, -4) \). ### 5. **Gráfica de la Parábola** - **Apertura:** Como \( a = 1 > 0 \), la parábola abre hacia arriba. - **Intersecciones con el eje y:** Cuando \( x = 0 \), \[ y = 0^{2} + 6(0) + 5 = 5 \] Por lo tanto, la intersección con el eje y es \( (0, 5) \). ### 6. **Resumen** - **Raíces:** \( x = -1 \) y \( x = -5 \) - **Vértice:** \( (-3, -4) \) - **Intersección con el eje y:** \( (0, 5) \) - **Apertura:** Hacia arriba La gráfica de la función \( y = x^{2} + 6x + 5 \) es una parábola que se abre hacia arriba, con sus puntos clave en las raíces, el vértice y la intersección con el eje y como se ha detallado.