2. Calculer les intégrales suivantes : $$ \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \quad \text { et } \int_{1}^{2} x \ln x d x $$ $$ \int_{0}^{2}(2-x) \mathrm{e}^{-x} d x \quad \text { et } \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^{2}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Bien sûr, calculons chacune de ces intégrales étape par étape.

### 1. $$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx$$

Cette intégrale est bien connue et peut être résolue par substitution.

**Méthode :**
Soit $$ u = x^{2} $$, donc $$ du = 2x \, dx $$ ou $$ \frac{du}{2} = x \, dx $$.

**Calcul :**
$$
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{+\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}
$$

**Résultat :**
$$
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = \frac{1}{2}
$$

---

### 2. $$\displaystyle \int_{1}^{2} x \ln x \, dx$$

Cette intégrale nécessite une intégration par parties.

**Méthode :**
Soit $$ u = \ln x $$ et $$ dv = x \, dx $$. Alors, $$ du = \frac{1}{x} \, dx $$ et $$ v = \frac{x^{2}}{2} $$.

**Calcul :**
$$
\int x \ln x \, dx = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx
$$
$$
= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C
$$

Évaluons de 1 à 2 :
$$
\left[ \frac{2^{2}}{2} \ln 2 - \frac{2^{2}}{4} \right] - \left[ \frac{1^{2}}{2} \ln 1 - \frac{1^{2}}{4} \right] = \left(2 \ln 2 - 1\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}
$$

**Résultat :**
$$
\int_{1}^{2} x \ln x \, dx = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}
$$

---

### 3. $$\displaystyle \int_{0}^{2} (2 - x) e^{-x} \, dx$$

Cette intégrale peut être décomposée en deux intégrales plus simples.

**Méthode :**
$$
\int_{0}^{2} (2 - x) e^{-x} \, dx = 2 \int_{0}^{2} e^{-x} \, dx - \int_{0}^{2} x e^{-x} \, dx
$$

Calculons chaque partie séparément.

1. **Première intégrale :**
$$
2 \int_{0}^{2} e^{-x} \, dx = 2 \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{2} = 2 \left( -e^{-2} + 1 \right) = 2 \left(1 - e^{-2}\right)
$$

2. **Deuxième intégrale :** Utilisons l'intégration par parties.

Soit $$ u = x $$ et $$ dv = e^{-x} \, dx $$. Alors, $$ du = dx $$ et $$ v = -e^{-x} $$.

$$
\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x + 1) + C
$$

Évaluons de 0 à 2 :
$$
\left[ -e^{-2}(2 + 1) \right] - \left[ -e^{0}(0 + 1) \right] = -3 e^{-2} + 1
$$

**Combinaison des deux parties :**
$$
2 \left(1 - e^{-2}\right) - \left(1 - 3 e^{-2}\right) = 2 - 2 e^{-2} - 1 + 3 e^{-2} = 1 + e^{-2}
$$

**Résultat :**
$$
\int_{0}^{2} (2 - x) e^{-x} \, dx = 1 + e^{-2}
$$

---

### 4. $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^{2}}$$

Cette intégrale est une intégrale classique qui utilise la fonction arctangente.

**Méthode :**
$$
\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \arctan x + C
$$

**Calcul :**
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^{2}} = \left[ \arctan x \right]_{-\infty}^{+\infty} = \left( \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi
$$

**Résultat :**
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^{2}} = \pi
$$

---

**Résumé des résultats :**

1. $$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = \frac{1}{2}$$

2. $$\displaystyle \int_{1}^{2} x \ln x \, dx = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}$$

3. $$\displaystyle \int_{0}^{2} (2 - x) e^{-x} \, dx = 1 + e^{-2}$$

4. $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^{2}} = \pi$$
$$ \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = \frac{1}{2}, \quad \int_{1}^{2} x \ln x \, dx = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}, \quad \int_{0}^{2} (2 - x) e^{-x} \, dx = 1 + e^{-2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^{2}} = \pi $$

Calculer les intégrales suivantes :

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