2. Calculer les intégrales suivantes : \[ \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \quad \text { et } \int_{1}^{2} x \ln x d x \] \[ \int_{0}^{2}(2-x) \mathrm{e}^{-x} d x \quad \text { et } \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^{2}} \]

Pour la première intégrale, \(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \mathrm{d} x\), on utilise la substitution \(u = x^{2}\) qui donne \(\mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x\). Cela transforme l'intégrale en \(\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} \mathrm{d}u\), et le résultat se simplifie à \(\frac{1}{2}\). Pour la seconde, l'intégrale \(\int_{1}^{2} x \ln x \, \mathrm{d}x\) nécessite l'intégration par parties, avec \(u = \ln x\) et \(\mathrm{d}v = x \, \mathrm{d}x\), et après quelques étapes, on trouve le résultat égal à \(\frac{7}{4} \ln 2 - \frac{3}{4}\). En ce qui concerne \(\int_{0}^{2} (2 - x) e^{-x} \mathrm{d}x\), on peut le décomposer en deux intégrales. Cela donne \(2\int_{0}^{2} e^{-x} \mathrm{d}x - \int_{0}^{2} x e^{-x} \mathrm{d}x\). La première partie se calcule facilement, avec un résultat de \(2(1 - e^{-2})\). La dernière intégrale, calculée par parties, donne \(1 - e^{-2}(2 + 1)\). En regroupant les termes, on obtient un résultat final. Enfin, pour \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^{2}}\), c'est la célèbre intégrale qui donne \(\pi\), un classique dans le cadre de l'analyse complexe!