Demuestra que \( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \) para todos los valores \( x \) en su dominio.

Para demostrar que \( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \), comencemos recordando las definiciones de \( \arcsin(x) \) y \( \arccos(x) \). Sea \( y = \arcsin(x) \), lo que implica que \( x = \sin(y) \) y \( y \) está en el rango \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). Ahora, como \( \arccos(x) \) es la función que devuelve un ángulo \( z \) tal que \( x = \cos(z) \) y \( z \) está en el rango \( [0, \pi] \), notamos que \( y + z \) debe ser igual a \( \frac{\pi}{2} \). Específicamente, usando la relación fundamental en trigonometría: \[ \sin(y) = x \quad \text{y} \quad \cos(z) = x. \] Si resolvemos la relación \( \sin(y) = \cos(z) \), podemos usar la identidad \( \sin(y) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) \). Por lo tanto, se establece que: \[ z = \frac{\pi}{2} - y, \] de donde se deduce que: \[ y + z = y + \left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \frac{\pi}{2}. \] Esto confirma nuestra afirmación, por lo tanto, hemos demostrado que \( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \) para todos \( x \) en el dominio de ambas funciones, que es \( [-1, 1] \).