Defina a função trigonométrica cosecante em termos do seno e explique sua relação com o triângulo retângulo.

A **cosecante** (cotangente) é uma função trigonométrica definida como o inverso do seno. Matematicamente, pode ser expressa da seguinte forma: \[ \csc(\theta) = \frac{1}{\sen(\theta)} \] onde \(\theta\) é um ângulo agudo em um triângulo retângulo. ### Relação com o Triângulo Retângulo Em um triângulo retângulo, temos três lados: 1. **Hipotenusa**: o lado mais longo, oposto ao ângulo reto. 2. **Cateto oposto**: o lado que está oposto ao ângulo \(\theta\) em questão. 3. **Cateto adjacente**: o lado que está adjacente ao ângulo \(\theta\) e também adjacente ao ângulo reto. O seno de um ângulo \(\theta\) é definido como a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa: \[ \sen(\theta) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Hipotenusa}} \] Portanto, a cosecante de \(\theta\), sendo o inverso do seno, pode ser expressa como: \[ \csc(\theta) = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Oposto}} \] Essa relação mostra que a cosecante relaciona diretamente o comprimento da hipotenusa com o comprimento do cateto oposto em um triângulo retângulo. Assim, a função cosecante fornece uma maneira de calcular a proporção entre esses dois lados a partir de um ângulo específico no triângulo. ### Exemplo Prático Considere um triângulo retângulo onde o ângulo \(\theta\) tem um cateto oposto de comprimento 3 e a hipotenusa de comprimento 5. A cosecante de \(\theta\) será: \[ \csc(\theta) = \frac{5}{3} \] Isso significa que, para esse triângulo específico, a relação entre a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo \(\theta\) é \(5:3\). ### Importância da Cosecante Embora a cosecante não seja tão comumente utilizada quanto as funções seno, cosseno e tangente, ela é útil em várias aplicações de matemática e engenharia, especialmente quando se lida com relações que envolvem o inverso do seno. Conhecer todas as funções trigonométricas e suas relações é fundamental para resolver uma ampla gama de problemas envolvendo triângulos e ondas periódicas.