9. Johanna köper en ny bil för 137000 kr , bilens vârde sjunker dārefter varje år. För att beskriva värdet \( y \mathrm{kr} \) för bilen efter \( t \) âr undersöker hon två olika modeller, Modell A: \( y=137000-16400 t \) Modell B: \( y=137000 \cdot 0,88^{t} \) a) Beräkna bilens värde efter fem år enligt både modell A och enligt modell B. b) Beskriv med vardagligt språk vad funktionen till modell A respektive modell B säger om c) Undersök hur många år modell A respektive modell B är rimliga.

### a) Beräkning av bilens värde efter fem år **Modell A: \( y = 137\,000 - 16\,400t \)** För \( t = 5 \) år: \[ y = 137\,000 - 16\,400 \times 5 = 137\,000 - 82\,000 = 55\,000 \text{ kr} \] **Modell B: \( y = 137\,000 \times 0,88^{t} \)** För \( t = 5 \) år: \[ y = 137\,000 \times 0,88^{5} \] Först beräknar vi \( 0,88^{5} \): \[ 0,88^{5} \approx 0,5277 \] Därefter multiplicerar vi med ursprungsvärdet: \[ y \approx 137\,000 \times 0,5277 \approx 72\,179 \text{ kr} \] **Sammanfattning efter fem år:** - **Modell A:** 55 000 kr - **Modell B:** 72 179 kr ### b) Vardaglig beskrivning av modellerna **Modell A: Linjär avskrivning** - **Beskrivning:** Bilens värde minskar med ett fast belopp varje år, i detta fall 16 400 kr per år. Det innebär att värdeminskningen är konstant över tiden. **Modell B: Exponentiell avskrivning** - **Beskrivning:** Bilens värde minskar med en viss procentandel varje år, här 12 % per år. Detta innebär att värdeminskningen är snabbare i de första åren och saktar ner över tiden. ### c) Rimlighet för modellerna över tid **Modell A: Linjär avskrivning** - **Rimlighet:** Eftersom värdeminskningen är konstant kommer bilens värde enligt denna modell att bli noll efter ungefär 8,36 år (\( 137\,000 / 16\,400 \approx 8,36 \)). Därför är modellen rimlig att använda upp till cirka 8 år. Efter detta blir värdet negativt, vilket inte är realistiskt. **Modell B: Exponentiell avskrivning** - **Rimlighet:** Den exponentiella modellen närmar sig aldrig noll men innebär att värdet blir väldigt lågt över tid. Den är rimlig att använda under en längre period, ofta upp till 10-15 år, beroende på bilens faktiska marknadsvärde och tekniska tillstånd. Modellen speglar att bilen behåller ett minskande, men positivt värde även efter många år. ### Sammanfattning - **Modell A** är enkel och passar bra för kortare tidsperioder (upp till cirka 8 år). - **Modell B** ger en mer realistisk värdeminskning över längre tid och undviker negativa värden, vilket gör den mer lämplig för långsiktig värdering.