Dada la siguiente funcion: $$ f(x)=\log (5)-\log (-x+10) $$ Seleccione todas las opciones correct Seleccione una o más de una: Imagen $$ f(x)=R $$ Asintota vertical: $$ x=10 $$ Imagen $$ f(x)=R-\{10\} $$ Asintota ventical: $$ x=-10 $$ Ordenada al origen $$ y=-5 $$ Cero de $$ f(x) $$ en $$ x=-5 $$ Dominio $$ f(x)=(-\infty ; 10] $$ $$ f(x) $$ es siempre decreciente $$ \square f(x) $$ es siernpre creciente cero de $$ f(x) $$ en $$ x-5 $$ $$ \square $$ Dorminio $$ f(x)=(10 ; \infty) $$

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Dada la función $$ f(x)=\log (5)-\log (-x+10)=\log\left(\frac{5}{-x+10}\right), $$ realicemos el análisis paso a paso. 1. Dominio El argumento del logaritmo debe ser mayor que 0. En nuestro caso tenemos $$-x+10>0$$: $$ -x+10>0\quad\Longrightarrow\quad x<10. $$ Por lo tanto, el dominio es $$ (-\infty,10), $$ y no se incluye el $$10$$. 2. Asíntota vertical El límite de $$f(x)$$ cuando $$x$$ se acerca a $$10$$ (por la izquierda, ya que $$x<10$$) se comporta de la siguiente manera: $$ \lim_{x\to10^-} (-x+10)=0^+, $$ por lo que la expresión $$\frac{5}{-x+10}$$ tiende a $$+\infty$$ y, en consecuencia, $$f(x)$$ tiende a $$+\infty$$. Esto indica que existe una asíntota vertical en $$ x=10. $$ 3. Imagen (rango) Calculemos los límites en los extremos del dominio: - Cuando $$x\to -\infty$$, $$-x+10\to+\infty$$ y $$ \frac{5}{-x+10}\to 0^+ \quad\Longrightarrow\quad f(x)=\log\left(\frac{5}{-x+10}\right)\to -\infty. $$ - Cuando $$x\to10^-$$, $$-x+10\to0^+$$ y $$ \frac{5}{-x+10}\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to +\infty. $$ Como la función logaritmo es continua y toma todos los valores entre $$-\infty$$ y $$+\infty$$, la imagen es $$ \mathbb{R}. $$ 4. Monotonicidad Se puede reescribir la función como: $$ f(x)=\log\left(\frac{5}{10-x}\right)=\log(5)-\log(10-x). $$ Diferenciamos: $$ f'(x)=-\frac{d}{dx}[\log(10-x)] = -\left(\frac{-1}{10-x}\right)=\frac{1}{10-x}. $$ Como $$10-x>0$$ para $$x<10$$, se tiene que $$ f'(x)>0\quad\text{para todo } x\text{ en el dominio.} $$ Por lo tanto, $$f(x)$$ es siempre creciente. 5. Cero de la función Para hallar el cero de $$f(x)$$ se iguala a cero: $$ \log(5)-\log(10-x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \log\left(\frac{5}{10-x}\right)=0. $$ Recordando que $$\log(a)=0$$ si y solo si $$a=1$$, tenemos: $$ \frac{5}{10-x}=1 \quad\Longrightarrow\quad 10-x=5 \quad\Longrightarrow\quad x=5. $$ Resumen de las opciones correctas: - Imagen: $$\mathbb{R}$$. - Asíntota vertical: $$x=10$$. - $$f(x)$$ es siempre creciente. - Cero de $$f(x)$$ en $$x=5$$. Las opciones correctas son: - Imagen $$ f(x) = \mathbb{R} $$ - Asintota vertical: $$ x = 10 $$ - $$ f(x) $$ es siempre creciente - Cero de $$ f(x) $$ en $$ x = 5 $$

Dada la siguiente funcion:

Seleccione todas las opciones correct
Seleccione una o más de una:
Imagen
Asintota vertical:
Imagen
Asintota ventical:
Ordenada al origen
Cero de en
Dominio
es siempre decreciente
es siernpre creciente
cero de en
Dorminio

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Dada la siguiente funcion: Seleccione todas las opciones correct Seleccione una o más de una: Imagen Asintota vertical: Imagen Asintota ventical: Ordenada al origen Cero de en Dominio es siempre decreciente es siernpre creciente cero de en Dorminio