Pour les exercices 96 à 101, déterminer la fonction dérivée de la fonction $$ f $$ définie sur l'intervalle I. $$ 96 \ln \left(x+\frac{1}{x}\right) $$ $$ I=] 0 ;+\infty[ $$ $$ 97 f(x)=\ln \left(x+e^{-x}\right) $$ $$ I=\mathbb{R} $$ $$ 98 f(x)=\ln \left(\frac{x+2}{x-3}\right) $$ $$ I=] 3 ;+\infty[ $$ $$ 99 f(x)=\ln (\sqrt{1-x}) $$ $$ I=]-\infty ; 1[ $$ $$ 100 f(x)=\ln (\ln (x)) $$ $$ I=] 1 ;+\infty[ $$ $$ 101 f(x)=x \ln \left(1+e^{x}\right) $$ $$ I=\mathbb{R} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Voici les fonctions dérivées pour les exercices 96 à 101 :

### **Exercice 96**
**Fonction :**
$$ f(x) = \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) $$
**Domaine :**
$$ I = \,]0 ; +\infty[ $$
**Dérivée :**
$$ f'(x) = \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)} $$

### **Exercice 97**
**Fonction :**
$$ f(x) = \ln\left(x + e^{-x}\right) $$
**Domaine :**
$$ I = \mathbb{R} $$
**Dérivée :**
$$ f'(x) = \frac{1 - e^{-x}}{x + e^{-x}} $$

### **Exercice 98**
**Fonction :**
$$ f(x) = \ln\left(\frac{x + 2}{x - 3}\right) $$
**Domaine :**
$$ I = \,]3 ; +\infty[ $$
**Dérivée :**
$$ f'(x) = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 3} $$

### **Exercice 99**
**Fonction :**
$$ f(x) = \ln\left(\sqrt{1 - x}\right) $$
**Domaine :**
$$ I = \,]-\infty ; 1[ $$
**Dérivée :**
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{1 - x} = \frac{1}{2(x - 1)} $$

### **Exercice 100**
**Fonction :**
$$ f(x) = \ln(\ln(x)) $$
**Domaine :**
$$ I = \,]1 ; +\infty[ $$
**Dérivée :**
$$ f'(x) = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln(x)} $$

### **Exercice 101**
**Fonction :**
$$ f(x) = x \ln\left(1 + e^{x}\right) $$
**Domaine :**
$$ I = \mathbb{R} $$
**Dérivée :**
$$ f'(x) = \ln\left(1 + e^{x}\right) + \frac{x e^{x}}{1 + e^{x}} $$

---

N’hésitez pas si vous avez besoin de précisions supplémentaires !
Voici les dérivées pour les exercices 96 à 101 : - **Exercice 96** : $$ f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)} $$ - **Exercice 97** : $$ f'(x) = \frac{1 - e^{-x}}{x + e^{-x}} $$ - **Exercice 98** : $$ f'(x) = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 3} $$ - **Exercice 99** : $$ f'(x) = \frac{1}{2(x - 1)} $$ - **Exercice 100** : $$ f'(x) = \frac{1}{x \ln(x)} $$ - **Exercice 101** : $$ f'(x) = \ln(1 + e^{x}) + \frac{x e^{x}}{1 + e^{x}} $$ Si vous avez besoin de plus de détails, n'hésitez pas à demander !

Pour les exercices 96 à 101, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur l’intervalle I.

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