Encuentra la inversa de la función: \( f(x) = 3x^{2} + 5 \)

Para encontrar la inversa de la función \( f(x) = 3x^{2} + 5 \), seguiremos los siguientes pasos. **Es importante notar que, para que la función tenga una inversa, debemos restringir su dominio. Asumiremos que \( x \geq 0 \) para que la función sea invertible.** 1. **Intercambiar \( x \) e \( y \):** \[ y = 3x^{2} + 5 \quad \Rightarrow \quad x = 3y^{2} + 5 \] *(Nota: Hay un error aquí. Lo correcto es intercambiar las variables:)* \[ x = 3y^{2} + 5 \] 2. **Despejar \( y \):** \[ x - 5 = 3y^{2} \] \[ y^{2} = \frac{x - 5}{3} \] \[ y = \sqrt{\frac{x - 5}{3}} \] *(Dado que asumimos \( x \geq 0 \), tomamos la raíz positiva.)* 3. **Expresar la función inversa:** \[ f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 5}{3}} \] **Por lo tanto, la función inversa es:** \[ f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 5}{3}} \] **Dominio de la función inversa:** Para que la expresión bajo la raíz cuadrada sea no negativa: \[ \frac{x - 5}{3} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5 \] Entonces, la inversa está definida para \( x \geq 5 \).