29. \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=2 \) ve \( a . b=4 \) olduğuna göre, \( a \sqrt{a}+b \sqrt{b} \) kaçtır? \( \begin{array}{llll}\text { A) }-4 & \text { B) }-2 & \text { C) } 1 & \text { D) } 2\end{array} \) \( \begin{array}{llll} & \text { E) } 4\end{array} \)

Verilen denklemler: \[ \sqrt{a} + \sqrt{b} = 2 \quad \text{ve} \quad a \cdot b = 4 \] olarak verilmiştir. Amacımız \( a \sqrt{a} + b \sqrt{b} \) ifadesinin değerini bulmaktır. Adım adım çözüm: 1. **Değişken Tanımlaması:** \[ \sqrt{a} = x \quad \text{ve} \quad \sqrt{b} = y \] Bu tanımlamalarla birlikte denklemler: \[ x + y = 2 \] \[ (x^2)(y^2) = 4 \quad \Rightarrow \quad (xy)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad xy = \pm 2 \] 2. **İstenen İfade:** \[ a \sqrt{a} + b \sqrt{b} = x^3 + y^3 \] Küp toplam formülünü kullanarak: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] \[ x^3 + y^3 = 2 \left[(x + y)^2 - 3xy\right] = 2 \left[4 - 3(xy)\right] \] 3. **Durumların İncelenmesi:** - **Durum 1:** \( xy = 2 \) \[ x^3 + y^3 = 2(4 - 6) = 2(-2) = -4 \] - **Durum 2:** \( xy = -2 \) \[ x^3 + y^3 = 2(4 + 6) = 2 \times 10 = 20 \quad \text{(seçenekler arasında yok)} \] Ancak \( \sqrt{a} \) ve \( \sqrt{b} \) tanımlı olduğundan \( x \) ve \( y \) pozitif olmalıdır ve bu nedenle \( xy = 2 \) geçerlidir. Sonuç olarak: \[ a \sqrt{a} + b \sqrt{b} = -4 \] **Doğru cevap: A) -4**