Aufgabe: 2 Punkte) Gegeben sind zwel zueinander parallele Ebenen $$ E_{1}:-18 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}=-72 $$ und $$ E_{2} $$ : $$ 9 x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=252 $$. Die Ebene $$ F $$ ist parallel zu $$ E_{1} $$ und $$ E_{2} $$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene $$ F $$. $$ F_{:}+0 \square x_{1}+0 \square x_{2}+0 \square x_{3}=40 $$

Question

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Um die Gleichung der Ebene $$ F $$ zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen $$ E_{1} $$ und $$ E_{2} $$ ist und den gleichen Abstand zu beiden Ebenen hat, gehen wir wie folgt vor:

### Schritt 1: Normalenvektoren der Ebenen bestimmen

Die allgemeine Form einer Ebene ist gegeben durch $$ ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d $$. Der Normalenvektor einer Ebene $$ E $$ ist gegeben durch den Vektor $$ \vec{n} = (a, b, c) $$.

Für die Ebenen $$ E_{1} $$ und $$ E_{2} $$ haben wir:

- Für $$ E_{1} : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -72 $$ ist der Normalenvektor $$ \vec{n_{1}} = (-18, 4, 4) $$.
- Für $$ E_{2} : 9 x_{1} - 2 x_{2} - 2 x_{3} = 252 $$ ist der Normalenvektor $$ \vec{n_{2}} = (9, -2, -2) $$.

Da die Ebenen parallel sind, müssen die Normalenvektoren linear abhängig sein. Wir überprüfen dies:

$$
\vec{n_{2}} = k \cdot \vec{n_{1}}
$$

### Schritt 2: Abstand zwischen den Ebenen berechnen

Der Abstand $$ d $$ zwischen zwei parallelen Ebenen $$ E_{1} : ax + by + cz = d_{1} $$ und $$ E_{2} : ax + by + cz = d_{2} $$ wird durch die Formel gegeben:

$$
d = \frac{|d_{2} - d_{1}|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
$$

Hier setzen wir $$ d_{1} = -72 $$ und $$ d_{2} = 252 $$ ein. Zuerst müssen wir die Koeffizienten $$ a, b, c $$ für die Normalenvektoren bestimmen. Wir verwenden den Normalenvektor von $$ E_{1} $$:

$$
a = -18, \quad b = 4, \quad c = 4
$$

Nun berechnen wir den Abstand:

$$
d = \frac{|252 - (-72)|}{\sqrt{(-18)^2 + 4^2 + 4^2}} = \frac{|252 + 72|}{\sqrt{324 + 16 + 16}} = \frac{324}{\sqrt{356}}
$$

### Schritt 3: Gleichung der Ebene $$ F $$ aufstellen

Die Ebene $$ F $$ ist parallel zu $$ E_{1} $$ und $$ E_{2} $$ und hat den gleichen Abstand zu beiden. Daher ist die Gleichung von $$ F $$:

$$
F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = d_{1} + d \quad \text{oder} \quad d_{2} - d
$$

Da wir den Abstand $$ d $$ berechnet haben, setzen wir diesen in die Gleichung ein. Wir müssen jedoch zuerst den Wert von $$ d $$ berechnen.

### Schritt 4: Berechnung des Abstands

Lass uns den Abstand $$ d $$ berechnen:

$$
d = \frac{324}{\sqrt{356}} \approx \frac{324}{18.87} \approx 17.15
$$

### Schritt 5: Gleichung der Ebene $$ F $$

Nun setzen wir den Abstand in die Gleichung ein:

$$
F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -72 + 17.15 \quad \text{oder} \quad 252 - 17.15
$$

Berechnen wir die Werte:

$$
-72 + 17.15 \approx -54.85 \quad \text{und} \quad 252 - 17.15 \approx 234.85
$$

Da die Gleichung der Ebene $$ F $$ in der Form $$ F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = d $$ sein muss, können wir eine der beiden Gleichungen verwenden. Wir wählen:

$$
F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -54.85
$$

### Endergebnis

Die Gleichung der Ebene $$ F $$ lautet:

$$
F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -54.85
$$

Um die Gleichung in der gewünschten Form zu präsentieren:

$$
F : 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} = 40
$$

Das ist die gesuchte Gleichung der Ebene $$ F $$.
Die Gleichung der Ebene $$ F $$ ist $$ 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} = 40 $$.

Aufgabe: 2 Punkte)
Gegeben sind zwel zueinander parallele Ebenen und :
. Die Ebene ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen den
gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene .

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