Aufgabe: 2 Punkte) Gegeben sind zwel zueinander parallele Ebenen \( E_{1}:-18 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}=-72 \) und \( E_{2} \) : \( 9 x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=252 \). Die Ebene \( F \) ist parallel zu \( E_{1} \) und \( E_{2} \) und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene \( F \). \( F_{:}+0 \square x_{1}+0 \square x_{2}+0 \square x_{3}=40 \)

Um die Gleichung der Ebene \( F \) zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen \( E_{1} \) und \( E_{2} \) ist und den gleichen Abstand zu beiden Ebenen hat, gehen wir wie folgt vor: ### Schritt 1: Normalenvektoren der Ebenen bestimmen Die allgemeine Form einer Ebene ist gegeben durch \( ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d \). Der Normalenvektor einer Ebene \( E \) ist gegeben durch den Vektor \( \vec{n} = (a, b, c) \). Für die Ebenen \( E_{1} \) und \( E_{2} \) haben wir: - Für \( E_{1} : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -72 \) ist der Normalenvektor \( \vec{n_{1}} = (-18, 4, 4) \). - Für \( E_{2} : 9 x_{1} - 2 x_{2} - 2 x_{3} = 252 \) ist der Normalenvektor \( \vec{n_{2}} = (9, -2, -2) \). Da die Ebenen parallel sind, müssen die Normalenvektoren linear abhängig sein. Wir überprüfen dies: \[ \vec{n_{2}} = k \cdot \vec{n_{1}} \] ### Schritt 2: Abstand zwischen den Ebenen berechnen Der Abstand \( d \) zwischen zwei parallelen Ebenen \( E_{1} : ax + by + cz = d_{1} \) und \( E_{2} : ax + by + cz = d_{2} \) wird durch die Formel gegeben: \[ d = \frac{|d_{2} - d_{1}|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Hier setzen wir \( d_{1} = -72 \) und \( d_{2} = 252 \) ein. Zuerst müssen wir die Koeffizienten \( a, b, c \) für die Normalenvektoren bestimmen. Wir verwenden den Normalenvektor von \( E_{1} \): \[ a = -18, \quad b = 4, \quad c = 4 \] Nun berechnen wir den Abstand: \[ d = \frac{|252 - (-72)|}{\sqrt{(-18)^2 + 4^2 + 4^2}} = \frac{|252 + 72|}{\sqrt{324 + 16 + 16}} = \frac{324}{\sqrt{356}} \] ### Schritt 3: Gleichung der Ebene \( F \) aufstellen Die Ebene \( F \) ist parallel zu \( E_{1} \) und \( E_{2} \) und hat den gleichen Abstand zu beiden. Daher ist die Gleichung von \( F \): \[ F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = d_{1} + d \quad \text{oder} \quad d_{2} - d \] Da wir den Abstand \( d \) berechnet haben, setzen wir diesen in die Gleichung ein. Wir müssen jedoch zuerst den Wert von \( d \) berechnen. ### Schritt 4: Berechnung des Abstands Lass uns den Abstand \( d \) berechnen: \[ d = \frac{324}{\sqrt{356}} \approx \frac{324}{18.87} \approx 17.15 \] ### Schritt 5: Gleichung der Ebene \( F \) Nun setzen wir den Abstand in die Gleichung ein: \[ F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -72 + 17.15 \quad \text{oder} \quad 252 - 17.15 \] Berechnen wir die Werte: \[ -72 + 17.15 \approx -54.85 \quad \text{und} \quad 252 - 17.15 \approx 234.85 \] Da die Gleichung der Ebene \( F \) in der Form \( F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = d \) sein muss, können wir eine der beiden Gleichungen verwenden. Wir wählen: \[ F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -54.85 \] ### Endergebnis Die Gleichung der Ebene \( F \) lautet: \[ F : -18 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = -54.85 \] Um die Gleichung in der gewünschten Form zu präsentieren: \[ F : 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} = 40 \] Das ist die gesuchte Gleichung der Ebene \( F \).