Série 2 $$ \begin{array}{lll} ext { aa) } f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} & ext { ae) } f(x)=\frac{x}{(x-1)(x+2)^{2}} & ext { ai) } f(x)=|x-1| \ ext { ab) } f(x)=x-\frac{1}{2 x} & ext { af) } f(x)=-\sqrt{x-3} & ext { aj) } f(x)=2 x+\frac{3}{x+4} \ ext { ac) } f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1} & ext { ag) } f(x)=\frac{5 x}{x^{2}+6 x+9} & ext { ak) } f(x)=\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2}-4}} \ ext { ad) } f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+3 x} & ext { ah) } f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}{2 x-5} & ext { al) } f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x^{3}+x}\end{array} $$

Question

Série 2 $$ \begin{array}{lll}	ext { aa) } f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} & 	ext { ae) } f(x)=\frac{x}{(x-1)(x+2)^{2}} & 	ext { ai) } f(x)=|x-1| \ 	ext { ab) } f(x)=x-\frac{1}{2 x} & 	ext { af) } f(x)=-\sqrt{x-3} & 	ext { aj) } f(x)=2 x+\frac{3}{x+4} \ 	ext { ac) } f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1} & 	ext { ag) } f(x)=\frac{5 x}{x^{2}+6 x+9} & 	ext { ak) } f(x)=\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2}-4}} \ 	ext { ad) } f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+3 x} & 	ext { ah) } f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}{2 x-5} & 	ext { al) } f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x^{3}+x}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro! Vamos analisar cada função da Série 2, determinando seu **domínio**, ou seja, o conjunto de valores de $$ x $$ para os quais a função está definida.

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### **aa)** $$ f(x) = \dfrac{x}{1 + x^{2}} $$

- **Domínio:** Todos os números reais.
- **Justificativa:** O denominador $$ 1 + x^{2} $$ nunca é zero, pois $$ x^{2} \geq 0 $$. Portanto, a função está definida para todo $$ x \in \mathbb{R} $$.

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### **ab)** $$ f(x) = x - \dfrac{1}{2x} $$

- **Domínio:** $$ x \in \mathbb{R} $$, $$ x 
eq 0 $$.
- **Justificativa:** O denominador $$ 2x $$ não pode ser zero, então $$ x 
eq 0 $$.

---

### **ac)** $$ f(x) = \dfrac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} $$

- **Domínio:** $$ x \in \mathbb{R} $$, $$ x 
eq 1 $$ e $$ x 
eq -1 $$.
- **Justificativa:** O denominador $$ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ não pode ser zero.

---

### **ae)** $$ f(x) = \dfrac{x}{(x - 1)(x + 2)^{2}} $$

- **Domínio:** $$ x \in \mathbb{R} $$, $$ x 
eq 1 $$ e $$ x 
eq -2 $$.
- **Justificativa:** O denominador $$ (x - 1)(x + 2)^{2} $$ não pode ser zero.

---

### **af)** $$ f(x) = -\sqrt{x - 3} $$

- **Domínio:** $$ x \geq 3 $$.
- **Justificativa:** O radicando $$ x - 3 $$ deve ser maior ou igual a zero.

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### **ag)** $$ f(x) = \dfrac{5x}{x^{2} + 6x + 9} $$

- **Domínio:** $$ x \in \mathbb{R} $$, $$ x 
eq -3 $$.
- **Justificativa:** O denominador $$ x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2} $$ não pode ser zero.

---

### **ah)** $$ f(x) = \dfrac{\sqrt{x^{2} - 5x + 6}}{2x - 5} $$

- **Condições:**
  1. **Radicando não negativo:** $$ x^{2} - 5x + 6 \geq 0 $$.
     - Resolvendo a inequação: $$ (x - 2)(x - 3) \geq 0 $$ → $$ x \leq 2 $$ ou $$ x \geq 3 $$.
  2. **Denominador diferente de zero:** $$ 2x - 5 
eq 0 $$ → $$ x 
eq \dfrac{5}{2} $$.

- **Domínio:** $$ x \leq 2 $$ ou $$ x \geq 3 $$.
- **Justificativa:** $$ x = \dfrac{5}{2} = 2,5 $$ está entre $$ 2 $$ e $$ 3 $$, que já estão excluídos pelas condições do radicando.

---

### **ai)** $$ f(x) = |x - 1| $$

- **Domínio:** Todos os números reais.
- **Justificativa:** O valor absoluto está definido para todo $$ x \in \mathbb{R} $$.

---

### **aj)** $$ f(x) = 2x + \dfrac{3}{x + 4} $$

- **Domínio:** $$ x \in \mathbb{R} $$, $$ x 
eq -4 $$.
- **Justificativa:** O denominador $$ x + 4 $$ não pode ser zero.

---

### **ak)** $$ f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt[3]{x^{2} - 4}} $$

- **Domínio:** $$ x \in \mathbb{R} $$, $$ x 
eq 2 $$ e $$ x 
eq -2 $$.
- **Justificativa:** A raiz cúbica está definida para todos os números reais, mas o denominador $$ \sqrt[3]{x^{2} - 4} $$ não pode ser zero. Portanto, $$ x^{2} - 4 
eq 0 $$ → $$ x 
eq 2 $$ e $$ x 
eq -2 $$.

---

### **al)** $$ f(x) = \dfrac{\sqrt{1 - x}}{x^{3} + x} $$

- **Condições:**
  1. **Radicando não negativo:** $$ 1 - x \geq 0 $$ → $$ x \leq 1 $$.
  2. **Denominador diferente de zero:** $$ x^{3} + x = x(x^{2} + 1) 
eq 0 $$ → $$ x 
eq 0 $$ (pois $$ x^{2} + 1 > 0 $$ para todo $$ x $$).

- **Domínio:** $$ x \leq 1 $$ e $$ x 
eq 0 $$.
- **Justificativa:** $$ x = 0 $$ é excluído devido ao denominador.

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Espero que esta análise ajude no entendimento das funções da Série 2! Se precisar de mais informações ou de análises adicionais, sinta-se à vontade para perguntar.
Here are the domains for each function in Série 2: - **aa)** $$ f(x) = \dfrac{x}{1 + x^{2}} $$: All real numbers. - **ab)** $$ f(x) = x - \dfrac{1}{2x} $$: All real numbers except $$ x = 0 $$. - **ac)** $$ f(x) = \dfrac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} $$: All real numbers except $$ x = 1 $$ and $$ x = -1 $$. - **ae)** $$ f(x) = \dfrac{x}{(x - 1)(x + 2)^{2}} $$: All real numbers except $$ x = 1 $$ and $$ x = -2 $$. - **af)** $$ f(x) = -\sqrt{x - 3} $$: $$ x \geq 3 $$. - **ag)** $$ f(x) = \dfrac{5x}{x^{2} + 6x + 9} $$: All real numbers except $$ x = -3 $$. - **ah)** $$ f(x) = \dfrac{\sqrt{x^{2} - 5x + 6}}{2x - 5} $$: $$ x \leq 2 $$ or $$ x \geq 3 $$, and $$ x 
eq 2.5 $$. - **ai)** $$ f(x) = |x - 1| $$: All real numbers. - **aj)** $$ f(x) = 2x + \dfrac{3}{x + 4} $$: All real numbers except $$ x = -4 $$. - **ak)** $$ f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt[3]{x^{2} - 4}} $$: All real numbers except $$ x = 2 $$ and $$ x = -2 $$. - **al)** $$ f(x) = \dfrac{\sqrt{1 - x}}{x^{3} + x} $$: $$ x \leq 1 $$ and $$ x 
eq 0 $$.

Série 2

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