Comprosar las mahrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que; a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

Para comprobar las propiedades dadas para las matrices \( A \) y \( B \), realizaremos los cálculos paso a paso para cada inciso. Dadas las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \] ### a) Verificar si \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \) **Paso 1: Calcular \( A + B \)** \[ A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+(-1) \\ 3+1 & 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \( (A+B)^2 \)** \[ (A+B)^2 = (A+B)(A+B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\ 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \] **Paso 3: Calcular \( A^2 \), \( AB \) y \( B^2 \)** - **\( A^2 \):** \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \] - **\( AB \):** \[ AB = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \] - **\( B^2 \):** \[ B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] **Paso 4: Calcular \( A^2 + 2AB + B^2 \)** \[ 2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} \] \[ A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A+B)^2 = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \neq A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \] **Conclusión:** La igualdad \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \) **no se cumple** para las matrices dadas. --- ### b) Verificar si \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \) **Paso 1: Calcular \( A - B \)** \[ A - B = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-(-1) \\ 3-1 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \( (A-B)^2 \)** \[ (A-B)^2 = (A-B)(A-B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \\ 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \] **Paso 3: Calcular \( A^2 - 2AB + B^2 \)** \[ A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 7 - 8 + 3 & 2 - 10 -5 \\ 3 - 12 +5 & 6 - (-6) +8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A-B)^2 = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \neq A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \] **Conclusión:** La igualdad \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \) **no se cumple** para las matrices dadas. --- ### c) Verificar si \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \) **Paso 1: Calcular \( (A+B)(A-B) \)** \[ (A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \\ 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \( A^2 - B^2 \)** \[ A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \neq A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] **Conclusión:** La igualdad \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \) **no se cumple** para las matrices dadas. --- ### Resumen Ninguna de las propiedades a), b) y c) se cumple para las matrices \( A \) y \( B \) dadas. Esto se debe a que, en general, las matrices no conmutan (\( AB \neq BA \)), lo que hace que las identidades algebraicas similares a las de los números reales no sean válidas en el contexto de matrices.