Comprosar las mahrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que; a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

Para comprobar las identidades dadas para las matrices \( A \) y \( B \), realizaremos los cálculos paso a paso para cada caso. Dado: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \] ### a) Comprobar que \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \) **Paso 1: Calcular \( A + B \)** \[ A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+(-1) \\ 3+1 & 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \( (A + B)^2 \)** \[ (A + B)^2 = (A + B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\ 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \] **Paso 3: Calcular \( A^2 \), \( AB \), y \( B^2 \)** \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \] \[ B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] \[ AB = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \] \[ 2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} \] **Paso 4: Calcular \( A^2 + 2AB + B^2 \)** \[ A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A + B)^2 = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \neq A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \] **Conclusión:** La igualdad \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \) **no se cumple** para las matrices dadas. --- ### b) Comprobar que \( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \) **Paso 1: Calcular \( A - B \)** \[ A - B = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-(-1) \\ 3-1 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \( (A - B)^2 \)** \[ (A - B)^2 = (A - B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \\ 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \] **Paso 3: Calcular \( A^2 - 2AB + B^2 \)** \[ A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 7 - 8 + 3 & 2 - 10 -5 \\ 3 - 12 + 5 & 6 - (-6) + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A - B)^2 = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \neq A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \] **Conclusión:** La igualdad \( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \) **no se cumple** para las matrices dadas. --- ### c) Comprobar que \( (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \) **Paso 1: Calcular \( (A + B)(A - B) \)** \[ (A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \\ 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \( A^2 - B^2 \)** \[ A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \neq A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] **Conclusión:** La igualdad \( (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \) **no se cumple** para las matrices dadas. --- ### Resumen Final Ninguna de las identidades propuestas se cumple para las matrices \( A \) y \( B \) dadas. Esto se debe a que, para matrices no conmutativas (es decir, cuando \( AB \neq BA \)), las propiedades algebraicas similares a las de los números escalar no siempre se aplican.